Problem P. 4870. (October 2016)
P. 4870. At a remote place of space, there are two lead balls of equal size. The gravitational force between them is the same as the electrostatic attractive force exerted between them. The potential difference between the two balls is 5 kV. What is the size of the balls if their net charge is zero?
(4 pont)
Deadline expired on November 10, 2016.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Jelöljük a golyók sugarát \(\displaystyle R\)-rel, távolságukat \(\displaystyle \ell\)-lel (\(\displaystyle \ell\gg R\)), elektromos töltésüket pedig \(\displaystyle \pm Q\)-val. Az egyes golyók elektrosztatikus potenciálja (a ,,végtelenhez'' képest) \(\displaystyle \pm kQ/R\), egymáshoz viszonyított potenciálkülönbségük tehát
\(\displaystyle U=2k\frac{Q}{R},\)
a közöttük ható elektromos vonzóerő pedig
\(\displaystyle F_1=k\frac{Q^2}{\ell^2}=\frac{U^2}{4k}\,\frac{R^2}{\ell^2}.\)
Az ólomgolyók tömege \(\displaystyle m=\frac{4\pi R^3}{3}\varrho\) (\(\displaystyle \varrho=11\,340~\rm kg/m^3\) az ólom sűrűsége), a közöttük ható gravitációs vonzóerő
\(\displaystyle F_2=\gamma \frac{m^2}{\ell^2}=\frac{16\pi^2}{9}\gamma \frac{\varrho^2 R^6}{\ell^2}.\)
A kétféle vonzóerő nagysága akkor egyezik meg, ha
\(\displaystyle \frac{16\pi^2}{9}\gamma \frac{\varrho^2 R^6}{\ell^2}=\frac{U^2}{4k}\,\frac{R^2}{\ell^2},\)
vagyis ha a golyók sugara
\(\displaystyle R=\sqrt{\frac{3U}{8\pi\varrho\sqrt{k\gamma}}}=26~\rm cm. \)
Statistics:
47 students sent a solution. 4 points: Balaskó Dominik, Bekes Nándor, Csenger Géza, Csóka987 Benedek, Di Giovanni András, Édes Lili, Eper Miklós, Faisal Fahad AlSallom, Fekete Balázs Attila, Illés Gergely, Iván Balázs, Klučka Vivien, Kolontári Péter, Kormányos Hanna Rebeka, Marozsák Tóbiás , Molnár 957 Barnabás, Molnár Mátyás, Nagy 555 Botond, Nenezic Patrick Uros, Olosz Adél, Ónodi Gergely, Páhoki Tamás, Pataki 245 Attila, Paulovics Péter, Pszota Máté, Szabó 199 Márton, Tófalusi Ádám, Tóth 111 Máté , Zöllner András. 3 points: Hajnal Dániel Konrád, Kovács 124 Marcell, Morvai Orsolya, Takács Attila. 2 points: 8 students. 1 point: 3 students. 0 point: 3 students.
Problems in Physics of KöMaL, October 2016