Problem P. 4884. (December 2016)

P. 4884. A small steel ball having a diameter of a few centimetres and a big beach ball are projected upward at the same speed of a few m/s. Sketch the velocity-time graphs of both balls in the same coordinate system.

Compare the initial and the final velocities of the balls. Is there any moment when the slopes of the two curves are the same? Which object goes higher and how can this be seen in the graphs?

(4 pont)

Deadline expired on January 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A golyó mozgásegyenlete (ha a felfelé mutató irányt választjuk pozitívnak és a közegellenállást elhanyagoljuk):

\(\displaystyle a_\textrm{golyó}= \frac{\Delta v_\textrm{golyó}}{\Delta t}=-g.\)

A golyó sebessége időben egyenletesen változik (csökken), tehát a \(\displaystyle v-t\) grafikon egy egyenes. Az emelkedési magasság a grafikon \(\displaystyle v>0\) szakaszának ,,görbe'' alatti területével egyezik meg.

Az ábráról leolvasható, hogy a golyó magasabbra emelkedik, mint a labda, hiszen a labda hamarabb ér el a pályájának legmagasabb pontjába, mint a golyó, és az emelkedés közben a sebessége mindvégig kisebb, mint a golyó pillanatnyi sebessége.

A strandlabdára ható erő a nehézségi erő és a közegellenállási erő eredője. Ez utóbbi nagysága \(\displaystyle v^2\)-tel arányos, iránya pedig \(\displaystyle v\)-vel ellentétes, így a labda mozgásegyenlete:

\(\displaystyle a_\textrm{labda}= \frac{\Delta v_\textrm{labda}}{\Delta t}=-g-k\cdot v_\textrm{labda} \vert v_\textrm{labda}\vert,\)

(ahol \(\displaystyle k\) egy állandó). Mindaddig, amíg \(\displaystyle v_\textrm{labda}>0\), a labda sebessége gyorsabb ütemben csökken, mint a golyóé, és a két görbe meredeksége éppen a labda visszafordulásának pillanatában egyezik meg.

A két test kezdősebessége megegyezik, így a kezdeti mechanikai energiájuk is egyforma. A leérkezés pillanatában a helyzeti energiák megegyeznek, de a labda összes mechanikai energiája kisebb, mint a golyóé, hiszen a közegellenállás munkája a mozgás közben mindvégig csökkentette a mechanikai energiát. Emiatt a labda sebességének nagysága a leérkezés pillanatában biztosan kisebb, mint a golyóé.

Statistics:

33 students sent a solution.
4 points:	Di Giovanni András, Fehér 169 Szilveszter, Kozák András, Markó Gábor, Merkl Gergely, Morvai Orsolya, Nagy 555 Botond, Nyerges Dóra, Stefán Boglárka Abigél, Szalay Gergő, Turcsányi Ádám.
3 points:	Csuha Boglárka, Faisal Fahad AlSallom, Háder Márk István, Hajdu 046 Ákos, Jánosdeák Márk, Klučka Vivien, Krasznai Anna, Makovsky Mihály, Mocskonyi Mirkó, Wolff Vilmos.
2 points:	4 students.
1 point:	4 students.
0 point:	4 students.

Problems in Physics of KöMaL, December 2016