Problem P. 4915. (February 2017)
P. 4915. One of the research space ships of the titanium-devouring little green people found a spherical-shaped small asteroid, which has no atmosphere and does not rotate. The scientists bored a tunnel through the planet along one of its diameter, and found that the whole planet consists of titanium of uniform density.
They celebrated the opening of the tunnel with fireworks. By means of a cannon a projectile was shot exactly vertically downward through the tunnel such that the projectile emerged at the other end of the tunnel, and rose to a height which was same as the diameter of the asteroid measured from the surface of the asteroid, and there it exploded spectacularly. The experts of the Examining Institute for Cosmic Accidents (EXINCA) timed the explosion such that it occurred exactly at a time of \(\displaystyle T\) elapsed after shooting the projectile.
Find (both the formula and the numerical value of) this elapsed time of \(\displaystyle T\).
(6 pont)
Deadline expired on March 10, 2017.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Jelöljük a kisbolygó sugarát \(\displaystyle R\)-rel, tömegét pedig \(\displaystyle M\)-mel; ezek nagyságát nem ismerjük. Tudjuk viszont, hogy a titán sűrűsége
\(\displaystyle \varrho=\frac{M}{\tfrac43\pi R^3}=4510~\rm kg/m^3.\)
A lövedék mozgása két különböző jellegű mozgásra bontható. A kisbolygó belsejében minden helyzetben csak akkora vonzóerő hat rá, amekkorát a pillanatnyi helyzetének megfelelő kisebb titángömb fejt ki rá. Az alagutat elhagyva a lövedék mozgását a kisbolygó egészének gravitációs vonzóereje irányítja. A lövedék mozgásának teljes \(\displaystyle T\) ideje az alagútban töltött \(\displaystyle T_1\) idő és a szabadban történő mozgás \(\displaystyle T_2\) idejének összege.
A kisbolygó belsejében (az alagútban) a kisbolygó középpontjától \(\displaystyle x\) távolságban lévő \(\displaystyle m\) tömegű lövedékre
\(\displaystyle F(x)=-\gamma \frac{mM }{x^2}\,\frac{x^3}{R^3}=-D\cdot x\)
nagyságú erő hat, éppen akkora, mintha egy
\(\displaystyle D=\gamma \frac{Mm}{R^3}\)
rugóállandójú rugó húzná a középpont felé. Ennek hatására olyan harmonikus rezgőmozgást végez a lövedék az alagútban, amelynek periódusideje
\(\displaystyle T_0= \frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}=2\pi\sqrt{\frac{R^3}{\gamma M}}=\sqrt{\frac{3\pi}{\gamma \varrho}}\approx 5600~{\rm s}=1{,}55~\text{óra}. \)
A lövedék azonban a teljes periódusidőnek csak egy részét tölti az alagútban. Ha az időt a kisbolygó középpontján való áthaladástól mérjük, a lövedék elmozdulását és sebességét az
\(\displaystyle x(t)=A\sin\omega t,\qquad v(t)=A\omega\cos\omega t \)
összefüggésekkel adhatjuk meg. Tudjuk, hogy az alagút elhagyásának \(\displaystyle t_1=T_1/2\) pillanatában
\(\displaystyle x(t_1)=A\sin(\omega t_1)=R,\)
valamint
\(\displaystyle v(t_1)=A\omega\cos(\omega t_1)=v_1 .\)
A \(\displaystyle v_1\) sebesség nagyságát onnan tudjuk, hogy ismerjük a lövedék emelkedési magasságát. Az energiamegmaradás tételét alkalmazva ugyanis felírhatjuk:
\(\displaystyle -\gamma\frac{mM}{R}+\frac{1}{2}mv_1^2= -\gamma\frac{mM}{2R},\)
ahonnan
\(\displaystyle v_1=\sqrt{\frac{\gamma M}{R}},\)
ami \(\displaystyle \omega=\sqrt{\gamma M/R^3}\) segítségével \(\displaystyle v_1=R\omega\) alakban is felírható. Eszerint
\(\displaystyle \frac{x(t_1)}{v(t_1)}= \frac{A\sin(\omega t_1)}{A\omega\cos(\omega t_1)}=\frac{1}{\omega}\tg(\omega t_1)= \frac{R}{R\omega}, \)
vagyis \(\displaystyle \tg(\omega t_1)=1,\) azaz \(\displaystyle t_1=\pi/(4\omega).\) A lövedék tehát
\(\displaystyle T_1=2t_1= \frac{\pi}{2\omega}=\frac{T_0}{4}=1400~{\rm s}=0{,}39~\text{óra} \)
idő alatt repül keresztül a titán kisbolygón.
A mozgás második szakaszának pályája egy olyan elfajult ellipszis negyedrészének tekinthető, amelynek nagytengelye \(\displaystyle 2R\), a kistengelye pedig \(\displaystyle b\approx 0\). Ezen ellipszisen – Kepler III. törvénye szerint – a teljes keringési idő
\(\displaystyle T_0= 2\pi\sqrt{\frac{R^3}{\gamma M}}=1{,}55~\text{óra}\)
lenne, éppen annyi, mint az alagút belsejében a harmonikus rezgőmozgás teljes periódusideje. Mivel azonban a lövedék az ellipszis kerületének csak negyedét teszi meg, az ehhez szükséges idő (Kepler II. törvényét felhasználva):
\(\displaystyle T_2=T_0\frac{\tfrac14ab\pi+\tfrac12ab }{ ab\pi }=\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2\pi}\right)T_0=0{,}63~\text{óra}.\)
A lövedék mozgásának teljes ideje
\(\displaystyle T=T_1+T_2= \frac{1+\pi}{2\pi}\sqrt{\frac{3\pi}{\gamma\varrho}}\approx 1{,}0~\text{óra}. \)
Statistics:
27 students sent a solution. 6 points: Bartók Imre, Bekes Nándor, Csire Roland, Di Giovanni András, Elek Péter, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Jakus Balázs István, Kürti Zoltán, Marozsák Tóbiás , Nagy 555 Botond, Németh 123 Balázs, Németh 777 Róbert, Osváth Botond, Pszota Máté, Szentivánszki Soma , Tófalusi Ádám, Varga-Umbrich Eszter. 5 points: Fajszi Bulcsú. 4 points: 2 students. 3 points: 3 students. 2 points: 1 student. 1 point: 1 student. 0 point: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, February 2017