Problem P. 4917. (March 2017)

P. 4917. On a horizontal half-plane the coefficient of friction is proportional to the distance measured from the boundary line of the half-plane: \(\displaystyle \mu=k\cdot x\). A small flat object starts to move from this line perpendicularly to it at an initial speed of \(\displaystyle v_0\). When and where will it stop?

Data: \(\displaystyle v_0=2~\frac{\rm m}{\rm s}\), \(\displaystyle k=0.4~\frac{1}{\rm m}\).

(4 pont)

Deadline expired on April 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A testre \(\displaystyle \mu mg=kmg\, x\) (változó) nagyságú súrlódási erő hat, így a mozgásegyenlete:

\(\displaystyle ma= -mgk\,x.\)

Ez az egyenlet megegyezik egy \(\displaystyle D=mgk\) rugóállandójú rugó végén harmonikus rezgőmozgást végző, \(\displaystyle m\) tömegű test mozgásegyenletével, így a megoldása (a kezdőfeltételek figyelembevételével)

\(\displaystyle x(t)=\frac{v_0}{\omega}\sin \omega t \qquad \text{és}\qquad v(t)=v_0\cos \omega t,\)

ahol \(\displaystyle \omega=\sqrt{ {D}/{m}}=\sqrt{gk}.\)

A test egy negyed ,,rezgés'' után, vagyis az indítástól számított

\(\displaystyle \frac{T}{4}=\frac{\pi}{2\omega}=\frac{\pi}{2\sqrt{gk}}\approx 0{,}8~\rm s \)

idő múlva áll meg, és az elmozdulása

\(\displaystyle x_\text{max}=\frac{v_0}{\omega}=\frac{v_0}{\sqrt{gk}}\approx 1~\rm m. \)

Statistics:

62 students sent a solution.
4 points:	Bíró Dániel, Bukor Benedek, Debreczeni Tibor, Fajszi Bulcsú, Fazakas Réka, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Horváth Dávid, Illés Gergely, Klučka Vivien, Kürti Zoltán, Markó Gábor, Marozsák Tóbiás , Molnár Mátyás, Nagy 555 Botond, Németh 777 Róbert, Olosz Adél, Osváth Botond, Pataki 245 Attila, Szakály Marcell, Szigeti Zsófia, Tófalusi Ádám, Zöllner András, Zsombó István.
3 points:	Bartók Imre, Csire Roland, Csuha Boglárka, Di Giovanni András, Édes Lili, Fehérkuti Anna, Hajdu 046 Ákos, Kolontári Péter, Kozák András, Krasznai Anna, Mamuzsics Gergő Bence, Morvai Orsolya, Nyerges Dóra, Páhoki Tamás, Póta Balázs, Pszota Máté, Sal Dávid, Szentivánszki Soma , Tatai Mihály.
2 points:	6 students.
1 point:	6 students.
0 point:	7 students.

Problems in Physics of KöMaL, March 2017