Problem P. 4931. (April 2017)

P. 4931. In a thermally insulated horizontal cylinder an easily moveable heat conducting piston separates two samples of gas of the same type, and of different temperature and different pressure. Initially the piston is fixed, but later the fixing ceased. What initial conditions may result in that after the equilibrium is reached, the piston is not on that side where initially the gas had smaller pressure?

(4 pont)

Deadline expired on May 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A gázok kezdeti állapotjelzői legyenek \(\displaystyle (p_1, V_1, T_1)\) és \(\displaystyle (p_2, V_2, T_2)\), az egyensúly beállta után pedig \(\displaystyle (p, V_1-\Delta V,T)\) illetve \(\displaystyle (p, V_2+\Delta V,T)\).

Legyen \(\displaystyle p_2<p_1\), és a feladat kérdése: lehetséges-e, hogy \(\displaystyle \Delta V>0\)?

Az állapotegyenletek:

\(\displaystyle \frac{p_1}{T_1}V_1= \frac{p }{T }(V_1-\Delta V),\qquad \frac{p_2}{T_2}V_2= \frac{p }{T }(V_2+\Delta V).\)

A két egyenlet hányadosából:

\(\displaystyle \frac{p_1}{T_1}\cdot \frac{T_2}{p_2}=\frac{1-\frac{\Delta V}{V_1}}{1+\frac{\Delta V}{V_2}}<1.\)

Látható, hogy \(\displaystyle \Delta V>0\) akkor teljesül, ha

\(\displaystyle \frac{p_1}{T_1}<\frac{p_2}{T_2},\)

ez pedig még \(\displaystyle p_1>p_2\) esetén is fennállhat. Mivel

\(\displaystyle \frac{p}{T}=R\frac{n}{V}\)

(\(\displaystyle n\) a mólszám), azt is mondhatjuk, hogy a dugattyú az egyensúly beálltáig nem feltétlenül a kisebb nyomású rész felé, hanem arrafelé mozdul el, amerre kezdetben kisebb volt az \(\displaystyle n/V\) mólsűrűség.

A megoldás során nem használtuk ki azt a tényt, hogy a henger fala hőszigetelő, vagyis az egész rendszer belső energiája nem változik meg. Ennek segítségével kiszámíthatjuk a kialakuló egyensúlyi nyomást:

\(\displaystyle p=\frac{p_1V_1+p_2V_2}{V_1+V_2}\)

és az egyensúlyi hőmérsékletet is (de ezeket nem kérdezte a feladat).

Statistics:

20 students sent a solution.
4 points:	Bukor Benedek, Édes Lili, Fehérkuti Anna, Keltai Dóra, Kolontári Péter, Kozák András, Krasznai Anna, Markó Gábor, Molnár Mátyás, Nagy 555 Botond, Turcsányi Ádám, Weisz Máté.
3 points:	Bartók Imre, Fekete Balázs Attila, Póta Balázs, Sal Dávid, Tófalusi Ádám.
2 points:	1 student.
0 point:	2 students.

Problems in Physics of KöMaL, April 2017