Problem P. 4936. (April 2017)

P. 4936. During the decay of a stationary, free neutron what may the greatest value of the kinetic energy of the electron be?

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A neutron bomlásakor a protonon és az elektronon kívül még egy(anti)neutrínó is keletkezik. Az elektron energiája akkor maximális, amikor a neutrínó energiája (és ezzel együtt az impulzusa is) gyakorlatilag nulla, vagyis a bomlás olyan, mintha a neutrínó nem is venne részt benne.

A folyamatban szereplő részecskék (nyugalmi) tömege:

\(\displaystyle m_{\rm n}=939{,}565~{\rm MeV}/c^2, \qquad m_{\rm p}=938{,}272~{\rm MeV}/c^2, \qquad m_{\rm e}=0{,}511~{\rm MeV}/c^2.\)

Jelöljük a bomlásban keletkező elektron impulzusát \(\displaystyle p\)-vel, teljes energiáját pedig \(\displaystyle E\)-vel! (A klasszikus, newtoni fizikában az impulzust (lendületet) általában \(\displaystyle I\)-vel jelölik, az atom- és magfizikában azonban a \(\displaystyle p\) jelölés is elterjedt.) A relativisztikus energia-impulzus összefüggés szerint az elektron összenergiája

\(\displaystyle E=\sqrt{m_{\rm e}^2c^4+p^2c^2}.\)

A proton ugyancsak \(\displaystyle p\) nagyságú impulzussal keletkezik (hiszen a neutron állt), így az összenergiája:

\(\displaystyle E_{\rm p}=\sqrt{m_{\rm p}^2c^4+p^2c^2},\)

a neutron energiája pedig a bomlás előtt \(\displaystyle E_{\rm n}=m_{\rm n}c^2\) volt. Az energiamegmaradás szerint \(\displaystyle E_\text n=E_\text e+E_\text p\), amiből a fenti képletekkel (\(\displaystyle p\) kiküszöbölése után) az elektron összenergiája kiszámítható:

\(\displaystyle E=\frac{m_{\rm n}^2+m_{\rm e}^2-m_{\rm p}^2}{2m_{\rm n}}\,c^2=1{,}29~{\rm MeV}.\)

A kérdezett mozgási energia ezek szerint

\(\displaystyle E_\text{mozgási}=E-m_{\rm e}c^2=0{,}78~{\rm MeV}.\)

(Ez az energia nagyobb, mint az elektron nyugalmi energiája, tehát indokolt volt a relativisztikus képletek használata.)

Statistics:

33 students sent a solution.
5 points:	Bartók Imre, Elek Péter, Fajszi Bulcsú, Fehér 169 Szilveszter, Jakus Balázs István, Krasznai Anna, Marozsák Tóbiás , Nagy 555 Botond, Németh 123 Balázs, Németh 777 Róbert, Papp 121 Krisztina, Varga-Umbrich Eszter.
4 points:	Csuha Boglárka, Illés Gergely, Illyés András, Olosz Adél, Páhoki Tamás, Szentivánszki Soma , Tófalusi Ádám.
3 points:	5 students.
2 points:	3 students.
1 point:	5 students.
0 point:	1 student.

Problems in Physics of KöMaL, April 2017