Problem P. 4937. (April 2017)

P. 4937. In the future men will be able to build spaceships which are able to take us to distant star systems. Suppose that one of such a spaceship leaves the Earth at the escape speed, and due to its special engine every day its kinetic energy is doubled. (Its rest mass remains the same.)

Estimate how much does the captain of the spaceship get older when he travels to Alpha Centauri, which is at a distance of 4.3 light years from the Earth.

(6 pont)

Deadline expired on May 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az űrhajóban mérhető időtartam (sajátidő)

\(\displaystyle \Delta\tau=\Delta t\, \sqrt{1-v^2/c^2}<\Delta t,\)

ahol \(\displaystyle v\) az űrhajó sebessége a Földhöz képest, \(\displaystyle \Delta t\) pedig a Földön mért időtartam.

Amíg az űrhajó sebessége sokkal kisebb a fénysebességnél, a kapitány minden földi nap alatt körülbelül 1 napot öregszik. A kezdeti \(\displaystyle v_0=11\) km/s-os sebességét \(\displaystyle n\) nap alatt \(\displaystyle v_0\cdot 2^{n/2}\)-re növeli, hiszen a nemrelativisztikus mozgási energia a sebesség négyzetével arányos. A sebesség akkor közelíti meg a fénysebességet, ha

\(\displaystyle v_0\cdot 2^{n/2}\approx c=300\,000~\rm km/s,\)

vagyis \(\displaystyle n\approx 29.\) Ezt követően már a relativisztikus képletek szerint kell számítani a sebességnövekedést és a sajátidőket (a kapitány öregedését), de a célba érésig eltelő idő pontos értékére nincs is szükségünk, hiszen a kapitány öregedése naponta \(\displaystyle \sqrt{1-v^2/c^2}\approx 0\). (Ebben az ultrarelativisztikus tartományban az ,,idődilatációnak'' megfelelő sajátidő elhanyagolhatóan kicsivé válik.)

A kapitány tehát összesen 29 napot öregszik, és ez a becsült érték gyakorlatilag független attól, hogy milyen messze van az úti cél.

Statistics:

15 students sent a solution.
6 points:	Bekes Nándor, Elek Péter, Fajszi Bulcsú, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Marozsák Tóbiás , Nagy 555 Botond, Páhoki Tamás, Szentivánszki Soma , Tófalusi Ádám.
4 points:	4 students.
1 point:	1 student.

Problems in Physics of KöMaL, April 2017