A KöMaL 2016. szeptemberi matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
 |
K-jelű feladatokA beküldési határidő 2016. október 10-én LEJÁRT. |
K. 505. Három ember dolgozott egy munkán, gépalkatrészeket készítettek (egy alkatrészt egy ember készített). A munka 15 órán át tartott, és a három ember együttes munkabére \(\displaystyle 142\;000\) Ft volt. A munka díjazása arányos volt az elkészített alkatrészek számával. Az első ember 12 perc alatt készített el egy alkatrészt, a második ember kétszer annyi pénzt kapott, mint az első, a harmadik ember pedig a másodiknál \(\displaystyle 8\;000\) Ft-tal kevesebbet kapott. Hány alkatrészt készítettek el külön-külön?
(6 pont)
K. 506. Az 1-től 1000-ig terjedő egész számok halmazából kivesszük a 2 összes többszörösét, a megmaradtak közül kivesszük a 3 összes többszörösét, majd ugyanígy folytatjuk az 5, 7, 11, 13, 17, 19 többszöröseivel. Az eljárás végén megmaradt számok közül kiválasztjuk az összetett számokat, és összeadjuk azokat. Mennyi lesz a kapott összeg?
(6 pont)
K. 507. Két ugyanakkora szabályos hatszögbe írtunk egy-egy hatágú csillagot, majd a csillagok belsejében keletkező kisebb szabályos hatszögbe ismét írtunk egy-egy hatágú csillagot. A csillagok csúcsai a megfelelő hatszög csúcsai, vagy oldalfelező pontjai voltak. Az elkészült rajzok az ábrán láthatók.
Hogy viszonyul egymáshoz a két kis besatírozott hatszög területe?
(6 pont)
K. 508. Bergengóciában egyre többször reng a föld, sok ház fala megrepedezett, néhány össze is dőlt. Összeült a vének tanácsa, és tanácskozni kezdtek a házépítés, a téglarakás megreformálásáról. Az az általános vélekedés alakult ki, hogy az a jó, földrengésbiztos téglafal, amelyikben sem függőleges, sem vízszintes téglaszél menti egyenes nincs. A tégla \(\displaystyle 1 \times 2\)-es méretű.
Rossz fal, mert van vízszintes egyenes, ami átvágja
\(\displaystyle a)\) Készítsünk egy-egy tervet \(\displaystyle 6 \times 8\)-as, illetve \(\displaystyle 8 \times 8\)-as földrengésbiztos fal építésére.
\(\displaystyle b)\) Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle 6 \times 6\)-os földrengésbiztos falat nem lehet építeni
(6 pont)
K. 509. Kilenc jóbarát elhatározza, hogy klubokat alakítanak. Minden klubban hárman lesznek, és bármely két klubnak legfeljebb egy közös tagja lehet. Hány klubot alakíthatnak legfeljebb?
(6 pont)
K. 510. Az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) nem feltétlenül különböző valós számok. Tudjuk, hogy \(\displaystyle ab=c\), \(\displaystyle bc=a\) és \(\displaystyle ca=b\). Adjuk meg \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) összes lehetséges értékét.
(6 pont)
 |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2016. október 10-én LEJÁRT. |
C. 1364. Egy faluban polgármestert választanak. A két jelölt Károly és Sándor. A lakosok nagyon aktívak, 90%-uk elment szavazni. A szavazatokból 128 lett érvénytelen. Károlyra 248-cal többen szavaztak érvényesen, mint Sándorra. Károlyra a teljes lakosság 49%-a voksolt. Hány szavazatot kapott?
(Német versenyfeladat)
(5 pont)
C. 1365. Egy \(\displaystyle n\) oldalú szabályos sokszög oldalaira kifelé négyzeteket állítunk. A négyzetek külső csúcsai egy \(\displaystyle 2n\) oldalú szabályos sokszöget határoznak meg. Hány oldala van az eredeti sokszögnek?
(5 pont)
C. 1366. A GZs4-26-os kisbolygón élő lények hármas számrendszerben számolnak, azzal a különbséggel a nálunk megszokotthoz képest, hogy számjegyeik a \(\displaystyle \triangle\), \(\displaystyle \square\) és \(\displaystyle \bigcirc\) (valamilyen sorrendben). Tudjuk, hogy \(\displaystyle \square\square\square\cdot \triangle\triangle =\square\bigcirc\triangle\square\triangle\). Határozzuk meg a \(\displaystyle \triangle\square\bigcirc\cdot \square\bigcirc\square\triangle\) szorzás eredményét.
(5 pont)
C. 1367. Az \(\displaystyle ABCDEFGH\) konvex nyolcszög középpontosan szimmetrikus. Igazoljuk, hogy az \(\displaystyle ABEF\), \(\displaystyle BCFG\), \(\displaystyle CDGH\) és \(\displaystyle DEHA\) négyszögek területének összege a nyolcszög területének kétszerese.
(5 pont)
C. 1368. Oldjuk meg az
\(\displaystyle {[x]}^2+ {\{x\}}^2 + x^2 +2[x]\{x\}=4x-2x[x]-2x\{x\}-1 \)
egyenletet, ahol \(\displaystyle [x]\) az \(\displaystyle x\) szám egészrészét, \(\displaystyle \{x\}\) pedig az \(\displaystyle x\) szám törtrészét jelenti.
(5 pont)
C. 1369. Egy háromszög súlypontjának koordinátái \(\displaystyle \left(5;-\frac{5}{3}\right)\), magasságpontjának \(\displaystyle (3;-1)\), egyik csúcsának pedig \(\displaystyle (7;3)\). Adjuk meg a másik két csúcs koordinátáit.
(5 pont)
C. 1370. A menzán kilenc diák három szabad, négyszemélyes asztalhoz ül. Mekkora annak a valószínűsége, hogy mindhárom asztalnál különböző számú diák foglal helyet?
(5 pont)
 |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2016. október 10-én LEJÁRT. |
B. 4804. Sir Robin meg akarja szabadítani Agnor városát a háromfejű, háromfarkú sárkány rémétől a tavak királynőjétől kapott szablyával. Egy vágással egy fejet, két fejet, egy farkat vagy két farkat vághat le. Ha levágja a sárkány egy fejét, akkor három új fej nő helyette. Ha két fejet vág le, akkor nem nő helyette semmi. Ha egy farkat vág le, akkor két farok nő ki. Végül, ha két farkat vág le, akkor kinő egy új fej. Mennyi az a legkisebb szám, ahány vágással megölheti a sárkányt (vagyis annak nem maradhat egy feje és egy farka sem)?
(Német versenyfeladat)
(3 pont)
B. 4805. Oldjuk meg az \begin{align*} x+y+z&=2,\\ xyz&=2(xy+yz+zx) \end{align*} egyenletrendszert a valós számok halmazán.
Javasolta: Szoldatics József (Budapest)
(4 pont)
B. 4806. Adott egy \(\displaystyle K\) körlemez, és rajta két pont, amelyek távolsága nagyobb, mint \(\displaystyle 2\) egység. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle K\)-ban van olyan, egységsugarú körlemez, amely a két pont egyikét sem tartalmazza.
Javasolta: Károlyi Gyula (Budajenő)
(3 pont)
B. 4807. Az egységnyi területű, \(\displaystyle ABC\) derékszögű háromszög oldalaira kifelé rajzoljunk négyzeteket. Ezek középpontjai legyenek a \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\) pontok. Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle DEF\) háromszög területe legalább két egység.
(Kvant)
(4 pont)
B. 4808. A koordinátarendszerben pirosra színeztük az \(\displaystyle (a;b)\) pontot, ahol \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) pozitív egészek. Ezután ha az \(\displaystyle (x;y)\) pont piros, akkor pirosra színezzük az \(\displaystyle (x+1;y+1)\) pontot, sőt az \(\displaystyle \left(\frac x2;\frac y2\right)\) pontot is, amennyiben az \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) mindegyike páros. Ha pedig \(\displaystyle (x;y)\) és \(\displaystyle (y;z)\) már színezett pontok, akkor pirosra színezzük az \(\displaystyle (x;z)\) pontot is. Mekkora távolságra van az origótól a hozzá legközelebbi piros színű pont?
Javasolta: Bereczki Zoltán (Szeged)
(5 pont)
B. 4809. Piroska a számegyenes mindegyik pontját vagy kékre vagy pirosra festi. Lilla egy pontot lilának lát, ha ahhoz tetszőlegesen közel található tőle eltérő kék és piros pont is. Lehetséges-e, hogy Lilla
\(\displaystyle a)\) a teljes számegyenest,
\(\displaystyle b)\) pontosan az egész számokat,
\(\displaystyle c)\) pontosan a racionális számokat látja lilának?
Javasolta: Maga Balázs (Budapest)
(5 pont)
B. 4810. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög két szöge \(\displaystyle BAC\sphericalangle=15^{\circ}\) és \(\displaystyle ABC\sphericalangle=30^{\circ}\). A \(\displaystyle C\) pontban az \(\displaystyle AC\) oldalra bocsátott merőleges az \(\displaystyle AB\) szakaszt a \(\displaystyle D\) pontban, az \(\displaystyle AB\) szakasz felezőmerőlegese a \(\displaystyle CD\) egyenest az \(\displaystyle E\) pontban metszi. Hosszabbítsuk meg az \(\displaystyle AB\) szakaszt a \(\displaystyle B\) ponton túl a \(\displaystyle BC\) szakasz hosszával, az így kapott pont legyen \(\displaystyle G\). Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle B\), \(\displaystyle G\), \(\displaystyle E\), \(\displaystyle C\) pontok egy \(\displaystyle \sqrt{2} \cdot AB\) átmérőjű körön vannak.
Javasolta: Bíró Bálint (Eger)
(5 pont)
B. 4811. Igazoljuk, hogy tetszőleges \(\displaystyle 0<a_1<a_2<\ldots<a_n\) egész számok esetén
\(\displaystyle \frac1{a_1} + \frac1{[a_1,a_2]} + \frac1{[a_1,a_2,a_3]} + \ldots + \frac1{[a_1,a_2,\ldots,a_n]} < 2, \)
ahol a \(\displaystyle [\dots]\) szimbólum a legkisebb közös többszöröst jelöli.
(6 pont)
B. 4812. Legyenek az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszög magasságainak talppontjai az \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\) és \(\displaystyle CA\) oldalakon rendre \(\displaystyle C_1\), \(\displaystyle A_1\) és \(\displaystyle B_1\). Az \(\displaystyle ABC\) háromszög magasságpontjának az \(\displaystyle A_1B_1\), \(\displaystyle B_1C_1\), \(\displaystyle C_1A_1\) egyenesekre eső merőleges vetülete rendre \(\displaystyle C_2\), \(\displaystyle A_2\) és \(\displaystyle B_2\). Igazoljuk, hogy az \(\displaystyle AA_2\), \(\displaystyle BB_2\) és \(\displaystyle CC_2\) egyenesek egy pontban metszik egymást és ez a pont rajta van az \(\displaystyle ABC\) háromszög Euler-egyenesén.
Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)
(6 pont)
 |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2016. október 10-én LEJÁRT. |
A. 674. Legyenek \(\displaystyle a_1, \ldots, a_n>1\) olyan egészek, amelyekre teljesül a
\(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{a_{i}+1} \le \frac{7}{12} \)
egyenlőtlenség. Optimisztika kormánya minden évben kiad egy Éves jelentést \(\displaystyle n\) gazdasági mutatóval. Minden egyes \(\displaystyle i=1,\ldots,n\)-re az \(\displaystyle i\)-edik mutató lehetséges értékei \(\displaystyle 1, 2, \ldots, a_i\). Azt mondjuk, hogy az Éves jelentés optimista, ha legalább \(\displaystyle n-1\) mutatónak az értéke magasabb, mint a megelőző jelentésben. Bizonyítsuk be, hogy a kormány ki tudja adni az optimista Éves jelentések egy végtelen sorozatát.
Az 1. International Olympiad of Metropolises feladata nyomán
(5 pont)
A. 675. Legyen \(\displaystyle r(x)\) egy \(\displaystyle n\)-edfokú, valós együtthatós polinom. Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle n\) páratlan, akkor az olyan, valós együtthatós \(\displaystyle p(x)\) és \(\displaystyle q(x)\) polinomokból álló párok száma, amelyek teljesítik a \(\displaystyle \big(p(x)\big)^3 + q(x^2) = r(x)\) egyenletet, kisebb, mint \(\displaystyle 2^n\).
Az 1. International Olympiad of Metropolises feladata nyomán
(5 pont)
A. 676. Legyen a \(\displaystyle \mathcal{K}\) kör egy átmérője \(\displaystyle OI\). Konstruáljunk kölcsönösen egyértelmű \(\displaystyle f \colon \mathcal{K}\setminus \{O,I\}\to\mathbb{R}\setminus\{0\}\) megfeleltetést a következő tulajdonsággal: \(\displaystyle \mathcal{K}\) bármely négy, \(\displaystyle O\)-tól, \(\displaystyle I\)-től és egymástól is különböző \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\) pontjára \(\displaystyle f(A)f(B) = f(C)f(D)\) akkor és csak akkor teljesül, ha az \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle CD\) és \(\displaystyle OI\) egyenesek egy ponton mennek át, vagy pedig párhuzamosak egymással.
(5 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)