A KöMaL 2022. szeptemberi matematika feladatai

K-jelű feladatok A beküldési határidő 2022. október 10-én LEJÁRT.

---

K. 729. 2022 perc múlva éjfélt fog ütni a győri városháza toronyórája. Mekkora szöget zár be most a toronyóra kis- és nagymutatója?

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

K. 730. Behúztuk egy kör nyolc húrját úgy, hogy a húrok metszéspontjainak száma a lehető legtöbb legyen. Hány részre bontja ekkor ez a nyolc húr a körlapot?

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

K. 731. Egy \(\displaystyle 4\times6\)-os téglalapot szeretnénk egyrétűen lefedni az ábrán látható L-alakú lappal egybevágó lapokkal. Az L-alakú lapokat tetszés szerint elforgathatjuk, illetve megfordíthatjuk. Van-e legalább 36 különböző lefedés?

(5 pont)

megoldás, statisztika

K/C-jelű feladatok A beküldési határidő 2022. október 10-én LEJÁRT.

---

K/C. 732. Négy matematikatanár egyike sem idősebb 70 évesnél és mindegyikük életkora években számítva prímszám. Hány éves a legfiatalabb, ha átlagéletkoruk 60 év, és nincsenek közöttük egykorúak?

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

K/C. 733. Mekkora a területe annak a legkisebb téglalapnak, amelybe beleírható egy olyan paralelogramma, amelynek egyik szöge \(\displaystyle 60^{\circ}\), egy-egy oldala 4 cm és 6 cm hosszú és két oldala a téglalap két oldalára illeszkedik?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C-jelű feladatok A beküldési határidő 2022. október 10-én LEJÁRT.

---

C. 1728. Határozzuk meg a

\(\displaystyle -\frac{1}{6}x+\frac{1}{2}=\{x\} \)

egyenlet megoldásainak pontos értékét.

(\(\displaystyle \{x\}\) az \(\displaystyle x\) törtrésze, vagyis az \(\displaystyle x\)-nek és \(\displaystyle x\)-nél nem nagyobb egészek legnagyobbikának különbsége.)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1729. Az \(\displaystyle ABCD\) négyzet \(\displaystyle BC\) és \(\displaystyle CD\) oldalára mint átmérőre a \(\displaystyle k_1\), illetve \(\displaystyle k_2\) félköröket rajzoljuk a négyzeten kívülre. A két félkörív felezőpontja \(\displaystyle E\), illetve \(\displaystyle F\). A \(\displaystyle DE\) és \(\displaystyle AF\) szakasz felezőpontja \(\displaystyle P\), illetve \(\displaystyle Q\). Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle P\) a négyzet \(\displaystyle AC\) átlójára, \(\displaystyle Q\) pedig a négyzet \(\displaystyle BD\) átlójára illeszkedik.

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1730. Határozzuk meg az összes \(\displaystyle \overline{0{,}abc}\) alakú tizedestörtet, amelyben \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) számjegyek, \(\displaystyle a\ne 0\) és teljesül, hogy \(\displaystyle \overline{0{,}abc}=\frac{a}{a+b+c}\).

(Horvát feladat)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1731. Az \(\displaystyle ABCD\) trapéz párhuzamos oldalai \(\displaystyle AB>CD\), a trapéz középvonala az \(\displaystyle AC\) átlót az \(\displaystyle E\), a \(\displaystyle BD\) átlót az \(\displaystyle F\) pontban metszi. A \(\displaystyle CD\) szakasz hossza az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle EF\) szakaszok hosszának

\(\displaystyle a)\) számtani,

\(\displaystyle b)\) mértani közepe.

Határozzuk meg, hogy a két eset közül melyikben lesz nagyobb az \(\displaystyle \dfrac{AB}{CD}\) arány értéke.

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1732. Legyen \(\displaystyle U\) a \(\displaystyle 337\)-nél nagyobb és \(\displaystyle 733\)-nál nem nagyobb prímszámok halmaza. Hány olyan \(\displaystyle 4\)-elemű részhalmaza van \(\displaystyle U\)-nak, amelynek a \(\displaystyle 467\) vagy a \(\displaystyle 499\) eleme?

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok A beküldési határidő 2022. október 10-én LEJÁRT.

---

B. 5254. Bizonyítsuk be, hogy bármely két, 3-mal nem osztható páratlan szám négyzetének különbsége osztható 24-gyel.

(Mennyiségtani és Természettudományi Didaktikai Lapok, 1943)

(3 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5255. Tükrözzük középpontosan az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle A\) csúcsát \(\displaystyle B\)-re, \(\displaystyle B\) csúcsát \(\displaystyle C\)-re, és \(\displaystyle C\) csúcsát \(\displaystyle A\)-ra, így kapjuk rendre a \(\displaystyle C_1\), \(\displaystyle A_1\) és \(\displaystyle B_1\) pontokat. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle AA_1\), \(\displaystyle BB_1\) és \(\displaystyle CC_1\) hosszúságú oldalakkal háromszög szerkeszthető.

(3 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5256. András egy év mind az 52 hetében egy-egy ugyanúgy kitöltött szelvénnyel játszik az ötöslottón. Bea ellenben az év utolsó sorsolása előtt vesz 52 szelvényt, és azokat (páronként különbözőféleképpen kitöltve) egyszerre játssza meg. Igaz-e, hogy ugyanannyi esélye van Andrásnak és Beának arra, hogy legyen telitalálatos szelvényük?

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5257. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszögben a magasságok \(\displaystyle AA_1\), \(\displaystyle BB_1\), illetve \(\displaystyle CC_1\), az \(\displaystyle AB\) oldal felezőpontja \(\displaystyle F\). A \(\displaystyle k\) kör átmegy az \(\displaystyle F\) és a \(\displaystyle C_1\) pontokon, valamint az \(\displaystyle A_1C_1\) és \(\displaystyle B_1C_1\) szakaszok \(\displaystyle C_1\)-en túli meghosszabbítását a \(\displaystyle P\), illetve a \(\displaystyle Q\) pontban metszi. Igazoljuk, hogy \(\displaystyle A_1P=B_1Q\).

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5258. Igaz-e, hogy minden pozitív egésznek van olyan pozitív többszöröse, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában a számjegyek összege legfeljebb 2022?

Javasolta: Sándor Csaba (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5259. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a valós számok halmazán:

$$\begin{eqnarray*} x^2- 3y + 4 &=& z, \\ y^2 -3z + 4 &=& w,\\ z^2 - 3w +4 &=& x,\\ w^2 - 3x + 4 &=& y. \end{eqnarray*}$$

Bencze Mihály (Brassó) javaslata alapján

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5260. A \(\displaystyle k\) kör \(\displaystyle AB\) húrjának \(\displaystyle G\) és \(\displaystyle H\) pontjaira \(\displaystyle AG=GH=HB=1\). A kör egyik \(\displaystyle AB\) ívének felezőpontja legyen \(\displaystyle F\). Az \(\displaystyle FH\) és \(\displaystyle FG\) szelők a kört másodszor a \(\displaystyle C\), illetve \(\displaystyle D\) pontban metszik. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle CD=BC^2\).

Javasolta: Kocsis Szilveszter (Budapest)

(6 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5261. Kezdő és Második a 100 csúcsú teljes gráf élein játszanak. Felváltva lépnek, Kezdő minden lépésnél egy még ki nem színezett élt pirosra, Második pedig minden lépésnél egy (még ki nem színezett) élt kékre színez. A játék akkor ér véget, ha vagy van 4 olyan csúcs, melyek között mind a 6 él piros, ekkor Kezdő nyer; vagy van 4 olyan csúcs, melyek között mind a 6 él kék, ekkor Második nyer; vagy pedig egyik sem teljesül, és nincs több beszínezhető él, ekkor az eredmény döntetlen. Kinek van nyerő stratégiája?

(6 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok A beküldési határidő 2022. október 10-én LEJÁRT.

---

A. 830. Ha \(\displaystyle H\subset \mathbb{Z}\) és \(\displaystyle n\in \mathbb{Z}\), legyen \(\displaystyle h_n\) a \(\displaystyle H\) azon véges részhalmazainak a száma, melyekben a számok összege \(\displaystyle n\). Van-e olyan \(\displaystyle H\subset \mathbb{Z}\), melyre \(\displaystyle 0\notin H\), és minden \(\displaystyle n\in \mathbb{Z}\)-re \(\displaystyle h_n\) egy (véges) páros szám? (Az üres halmaz elemeinek összege 0.)

Javasolta: Beke Csongor (Cambridge)

(7 pont)

megoldás, statisztika

---

A. 831. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle BC\) oldalának \(\displaystyle F\) a felezőpontja. Az \(\displaystyle A\)-n áthaladó, \(\displaystyle BC\)-t \(\displaystyle F\)-ben érintő kör messe az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle AC\) oldalakat rendre az \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle N\) pontokban. A \(\displaystyle CM\) és \(\displaystyle BN\) szakaszok metszéspontja legyen \(\displaystyle X\). A \(\displaystyle BMX\) és \(\displaystyle CNX\) háromszögek köréírt köreinek második metszéspontja legyen \(\displaystyle P\). Igazoljuk, hogy \(\displaystyle A\), \(\displaystyle F\) és \(\displaystyle P\) egy egyenesre illeszkednek.

Javasolta: Imolay András (Budapest)

(7 pont)

megoldás, statisztika

---

A. 832. Tegyük fel, hogy minden embernek egymástól függetlenül \(\displaystyle 0, 1,\dots\) vagy \(\displaystyle n\) gyermeke születhet, és annak a valószínűsége, hogy éppen \(\displaystyle i\) gyermeke születik, \(\displaystyle p_i\), ahol \(\displaystyle p_0+p_1+\ldots +p_n=1\) és \(\displaystyle p_n \ne 0\). (Ez az ún. Galton–Watson folyamat.)

Mely \(\displaystyle n\) pozitív egész és \(\displaystyle p_0,p_1,\dots,p_n\) valószínűségek esetén lesz maximális annak a valószínűsége, hogy egy adott ember utódai éppen a tizedik generációban halnak ki?

(7 pont)

megoldás, statisztika