A KöMaL 2023. februári matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
 |
K-jelű feladatokA beküldési határidő 2023. március 10-én LEJÁRT. |
K. 754. Matyi és Sebi amőbáznak. Ha Sebi nyer, kap 3 cukrot Matyitól, ha Matyi nyer, kap 2 cukrot Sebitől (döntetlen nincs). 30 játék után Sebinek ugyanannyi cukra van, mint kezdetben volt. Hány játékot nyert Sebi?
(5 pont)
K. 755. Legfeljebb hány oldala lehet egy olyan konvex sokszögnek, amelynek pontosan 3 tompaszöge van? Adjunk meg egy ilyen sokszöget.
(5 pont)
K. 756. Egy boltban 1 cm-es élhosszúságú és 2 cm-es élhosszúságú festett fakockát lehet vásárolni. A kisebb méretű kocka anyagköltségének 60%-a a festék ára, a többi pedig a fa ára. Mindkét fajta kocka ugyanolyan fából készül, és a nagyon vékony festékréteg vastagsága is azonos a felületükön. A kockák elkészítésének munkadíja egységes, a mérettől független összeg. A kockák előállításának költségeit figyelembe véve a boltnak 10 kis kocka és 5 nagy kocka előállítása 830 Ft-ba kerül, 5 kicsi és 15 nagy kockáé pedig 1490 Ft-ba. Hány Ft munkadíjat fizet a bolt egy kocka elkészítéséért?
(5 pont)
 |
K/C-jelű feladatokA beküldési határidő 2023. március 10-én LEJÁRT. |
K/C. 757. Kati egy \(\displaystyle 4\times4\)-es négyzetrácsos papírlapot szeretne a rácsvonalak mentén kisebb darabokra vágni ollóval. Mutassuk meg, hogy pontosan 11-féle puzzle-t tudna kivágni úgy, hogy a kivágásnak megfelelően kirakott puzzle az eredeti \(\displaystyle 4\times4\)-es négyzet mind a négy szimmetriatengelyére szimmetrikus lesz. Ez például egy megfelelő puzzle:
(5 pont)
K/C. 758. Egy derékszögű háromszög alakú vitorlán a hajóosztály piros jele olyan magasságban van felfestve, hogy \(\displaystyle MA + AC = CB + BM\). Ha \(\displaystyle BM = 7\) m és \(\displaystyle CB = 5\) m, akkor mennyivel van magasabban a vitorla felső csúcsa a jeltől?
(5 pont)
 |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2023. március 10-én LEJÁRT. |
C. 1753. Egy hosszú négyzetrácsos papírcsík első tíz négyzetére sorban leírjuk az \(\displaystyle 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\) számokat, a következő tíz négyzetre ugyanezeket, és így tovább. Ezen a módon pontosan \(\displaystyle 2030\) négyzetet számozunk meg. Egy bábut az első, \(\displaystyle 1\)-gyel jelölt négyzetre helyezünk. A bábu egy lépése ezután abból áll, hogy annyi mezőt halad előre, mint amilyen szám áll az általa éppen elfoglalt mezőn. Milyen szám van azon a mezőn, amelyen a bábu akkor áll, amikor következő lépésével már le kellene lépnie a \(\displaystyle 2030\) hosszúságú papírcsíkról?
Javasolta: Bíró Bálint (Eger)
(5 pont)
C. 1754. Egy síkban egymás mellé helyeztük az \(\displaystyle ABCD\), \(\displaystyle BEFC\) és \(\displaystyle EGHF\) négyzeteket. A \(\displaystyle B\)-ből a \(\displaystyle DE\)-re bocsátott merőleges talppontja \(\displaystyle K\). Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle K\), \(\displaystyle H\) pontok egy egyenesen vannak.
Javasolta: Bíró Bálint (Eger)
(5 pont)
C. 1755. Milyen \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) egész számokra teljesül az \(\displaystyle a^2+b^2-8c=6\) egyenlőség?
(Kanadai feladat)
(5 pont)
C. 1756. Oldjuk meg a valós számok halmazán a
\(\displaystyle 4\cdot \cos\big(\pi\cdot \sin {(\pi \cdot x)}\big)=-5x^2+15x-\frac{61}{4} \)
egyenletet.
Javasolta: Bíró Bálint (Eger)
(5 pont)
C. 1757. Jánoska egy négyzet alakú szőnyegen próbálja ki azt az új robotot, amelyet karácsonyra kapott. A négyzet oldalainak hossza \(\displaystyle 4\) méter, csúcsai pedig rendre az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontok. Legyen a \(\displaystyle P\) pont az \(\displaystyle ABCD\) négyzet azon belső pontja, amely az \(\displaystyle AB\) és a \(\displaystyle BC\) oldaltól egyaránt \(\displaystyle 1\) méter távolságra van. A \(\displaystyle P\) pontban álló robot egy véletlenszerűen kiválasztott irányban egyenesen elindul és \(\displaystyle 2\) méterre eltávolodik a \(\displaystyle P\) ponttól, majd megáll. Mekkora a valószínűsége, hogy ekkor a robot a szőnyegen kívül van?
Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)
(5 pont)
 |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2023. március 10-én LEJÁRT. |
B. 5294. A hegyesszögű \(\displaystyle ABC\) háromszög két magasságvonala \(\displaystyle AT_A\) és \(\displaystyle BT_B\). Az \(\displaystyle AB\) oldal felezőpontja \(\displaystyle F\), míg \(\displaystyle T_AT_B\) felezőpontja \(\displaystyle G\). Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle FG\) merőleges \(\displaystyle T_AT_B\)-re.
Javasolta: Vígh Viktor (Sándorfalva)
(3 pont)
B. 5295. Adjuk meg a legnagyobb olyan \(\displaystyle k\) egész számot, amelyre \(\displaystyle 1722\)-t \(\displaystyle k\)-val elosztva a maradék \(\displaystyle 2m\), míg \(\displaystyle 2179\)-et \(\displaystyle k\)-val elosztva a maradék \(\displaystyle 3m\) (alkalmas \(\displaystyle 0 \le m < k/3\) természetes számra).
Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)
(3 pont)
B. 5296. Hány különböző lépéssorozattal juthat el egy bástya a \(\displaystyle 8\times 8\)-as sakktábla bal alsó sarkából a jobb felső sarkába, ha felváltva lép jobbra és felfelé, továbbá először jobbra lép és utoljára felfelé?
Javasolta: Hujter Bálint (Budapest)
(4 pont)
B. 5297. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben \(\displaystyle BAC\sphericalangle=2CBA\sphericalangle\). Legyenek \(\displaystyle A'\), \(\displaystyle B'\), \(\displaystyle C'\) rendre az \(\displaystyle CA\), \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle BC\) oldalak olyan belső pontjai, amelyekre az \(\displaystyle A'B'C'\) háromszög hasonló az \(\displaystyle ABC\) háromszöghöz. Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle BAC\) és a \(\displaystyle B'A'C'\) szögek felezői a \(\displaystyle B'C'\) szakaszon metszik egymást.
Javasolta: Kós Géza (Budapest)
(4 pont)
B. 5298. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a valós számok halmazán:
$$\begin{align*} y+yx^2-2x & =0,\\ z+zy^2-2y & =0,\\ x+xz^2-2z & =0. \end{align*}$$(Amerikai feladat)
(5 pont)
B. 5299. A számegyenes \(\displaystyle 1,2,3\) pontjában egy-egy bolha ül. Ha egy bolha az \(\displaystyle a\) pontban, míg egy másik bolha a \(\displaystyle b\) pontban van, akkor az \(\displaystyle a\)-ban levő bolha átugorhat a \(\displaystyle 2b-a\) pontba. Előfordulhat-e véges sok ilyen ugrást követően, hogy a bolhák a \(\displaystyle 2^{100},3^{100},2^{100}+3^{100}\) pontokban vannak?
Javasolta: Pach Péter Pál (Budapest)
(6 pont)
B. 5300. Legyen \(\displaystyle T\) egységnyi élhosszúságú szabályos tetraéder. Írjunk \(\displaystyle T\)-be egy kockát úgy, hogy \(\displaystyle T\) minden lapjára a kockának pontosan két csúcsa illeszkedjen az ábra szerint (a szaggatott vonalak párhuzamosak a tetraéder megfelelő éleivel). Mekkora a kocka térfogata?
Javasolta: Vígh Viktor (Sándorfalva)
(5 pont)
B. 5301. Tegyük fel, hogy tíz pozitív egész szám reciprokának összege 1. Igazoljuk, hogy mindegyikük kisebb, mint \(\displaystyle 10^{1000}\).
Javasolta: Vígh Viktor (Sándorfalva)
(6 pont)
 |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2023. március 10-én LEJÁRT. |
A. 845. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt köre a \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CA\), \(\displaystyle AB\) oldalakat rendre a \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\) pontokban érinti. Jelölje \(\displaystyle A'\) azt a pontot a beírt körön, melyre az \(\displaystyle A'BC\) háromszög körülírt köre érinti a beírt kört. Hasonlóan definiáljuk a \(\displaystyle B'\) és \(\displaystyle C'\) pontot. Igazoljuk, hogy az \(\displaystyle A'D\), \(\displaystyle B'E\) és \(\displaystyle C'F\) egyenesek átmennek egy ponton.
Javasolta: Bán-Szabó Áron (Budapest)
(7 pont)
A. 846. Legyen \(\displaystyle n\) egy pozitív egész szám, és legyenek adva a \(\displaystyle v_1,v_2,\ldots,v_n\) vektorok a síkon. Az origóból indulva egy bolha a következő szabály szerint ugrál: \(\displaystyle i=1,2,\ldots,n\) esetén az \(\displaystyle i\). percben \(\displaystyle 1/2\) eséllyel ott marad, ahol éppen van, \(\displaystyle 1/4\) eséllyel a \(\displaystyle v_i\) vektorral ugrik arrébb, \(\displaystyle 1/4\) eséllyel pedig a \(\displaystyle -v_i\) vektorral ugrik arrébb. Bizonyítandó, hogy az \(\displaystyle n\). perc után nincs olyan pont, ahol nagyobb valószínűséggel tartózkodik a bolha, mint az origóban.
Javasolta: Pach Péter Pál (Budapest)
(7 pont)
A. 847. Adott egy véges \(\displaystyle A\) alaphalmaz, melynek néhány részhalmazát szépnek nevezzük. Legyen egy halmaz kicsi, ha részhalmaza egy szép halmaznak. Legyen egy halmaz nagy, ha van szép részhalmaza. (Egy halmaz lehet egyszerre kicsi és nagy is, és az is előfordulhat, hogy egy halmaz se nem kicsi, se nem nagy). Legyen \(\displaystyle |A|=a\), továbbá jelölje a szép, a kicsi és nagy halmazok számát rendre \(\displaystyle s\), \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle n\). Igazoljuk, hogy
\(\displaystyle 2^a \cdot s \le k \cdot n. \)
Javasolta: Imolay András (Budapest)
(7 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)