A KöMaL 2023. áprilisi matematika feladatai

K-jelű feladatok A beküldési határidő 2023. május 10-én LEJÁRT.

---

K. 764. Hetedhétországban egy hét hetedannyi napig tart, mint a Földön. Náluk egy nap \(\displaystyle 42\) órás, minden óra \(\displaystyle 77\) perces. Hány másodperc telik el két hét alatt Hetedhétországban, ha ott minden perc \(\displaystyle 33\) másodpercig tart?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

K. 765. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle AB\) oldalának felezőpontja \(\displaystyle D\), a \(\displaystyle CD\) szakasz felezőpontja \(\displaystyle E\). Hol kell felvenni a \(\displaystyle CD\) szakaszon az \(\displaystyle F\) pontot, hogy az \(\displaystyle AEC\) és \(\displaystyle BFC\) háromszögek területének összege az \(\displaystyle ABC\) háromszög területének pontosan \(\displaystyle 40\%\)-a legyen?

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

K. 766. Anna, Lili és Zéta bankszámláján egyaránt \(\displaystyle 1000\) forintnál nagyobb összeg van. Lili pénze egyenlő Anna pénzének \(\displaystyle 35\) százalékával. Zéta pénze ugyanannyi, mint Lili pénzének \(\displaystyle \frac{12}{7}\) része. Mennyi Anna, Lili és Zéta összes pénze, ha Zétának \(\displaystyle 10\,110\) forinttal több pénze van, mint Lilinek?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)

(5 pont)

megoldás, statisztika

K/C-jelű feladatok A beküldési határidő 2023. május 10-én LEJÁRT.

---

K/C. 767. Adott a síkban az \(\displaystyle ABCD\) négyzet. A \(\displaystyle k\) körvonal áthalad az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) pontokon és érinti a \(\displaystyle CD\) oldalt. Legyen \(\displaystyle M\) a \(\displaystyle k\) körvonal és a \(\displaystyle BC\) oldal \(\displaystyle B\)-vel nem azonos metszéspontja. Határozzuk meg a \(\displaystyle \frac{CM}{BM}\) arány pontos értékét.

Javasolta: Keszegh István (1950–2019)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

K/C. 768. A \(\displaystyle 2023\) számjegyei között pontosan egyszer szerepel a \(\displaystyle 0\). Hány olyan négyjegyű, pozitív, páratlan szám van, amelyre ez a tulajdonság nem teljesül?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)

(5 pont)

megoldás, statisztika

C-jelű feladatok A beküldési határidő 2023. május 10-én LEJÁRT.

---

C. 1763. Igazoljuk, hogy a \(\displaystyle 4^{52}+52^{2023}+2023^{52}\) szám osztható \(\displaystyle 15\)-tel.

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1764. Oldjuk meg az

$$\begin{align*} x(2x+6)(3x+5y) & =64;\\ 2x^2+9x+5y & =16 \end{align*}$$

egyenletrendszert, ha \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) pozitív valós számok.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1765. A szabályos négyoldalú \(\displaystyle ABCDE\) gúla alaplapja az \(\displaystyle ABCD\) négyzet, a gúla minden éle \(\displaystyle 32\) egység hosszúságú. Egy csiga az \(\displaystyle E\) csúcsból az \(\displaystyle A\) pontba igyekszik a következő módon: először az \(\displaystyle EA\) élen abba a \(\displaystyle P\) pontba jut el, amelyre \(\displaystyle EP=2\). Innen az \(\displaystyle ABE\) lap felületén haladva az \(\displaystyle EB\) él \(\displaystyle Q\) pontjába érkezik, ahol \(\displaystyle EQ=4\). Ezután a \(\displaystyle BCE\) lap felületén az \(\displaystyle EC\) él azon \(\displaystyle R\) pontjába mászik, amelyre \(\displaystyle ER=8\), innen pedig a \(\displaystyle CDE\) lapon az \(\displaystyle ED\) élen levő \(\displaystyle S\) pontba, ahol \(\displaystyle ES=16\). Végül az \(\displaystyle S\)-ből az \(\displaystyle A\) pontba mászik a \(\displaystyle DAE\) lap felületén. Legalább mekkora távolságot tesz meg összesen a csiga?

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1766. Mutassuk meg, hogy minden háromszögben (a szokásos jelöléseket használva) teljesül, hogy

\(\displaystyle \sqrt{a\sin{\alpha}}+\sqrt{b\sin{\beta}}+\sqrt{c\sin{\gamma}}=\sqrt{(a+b+c)(\sin{\alpha}+\sin{\beta}+\sin{\gamma})}. \)

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1767. Adott \(\displaystyle 2\) darab \(\displaystyle 7\)-es, \(\displaystyle 3\) darab \(\displaystyle 17\)-es, \(\displaystyle 5\) darab \(\displaystyle 119\)-es, \(\displaystyle 7\) darab \(\displaystyle 289\)-es, \(\displaystyle 11\) darab \(\displaystyle 2023\)-as és \(\displaystyle n\) darab \(\displaystyle 1\)-es érme. Az érmék közül véletlenszerűen kiválasztunk egyszerre kettőt, amelyeknek az értékét összeszorozzuk és így éppen \(\displaystyle 2023\)-at kapunk. Határozzuk meg \(\displaystyle n\) értékét, ha tudjuk, hogy a megfelelő kiválasztás valószínűsége \(\displaystyle \frac{12}{55}\).

Javasolta: Teleki Olivér (Tököl)

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok A beküldési határidő 2023. május 10-én LEJÁRT.

---

B. 5310. Egy stratégiai játékot négy csapat játszik egy \(\displaystyle n \times n\)-es négyzetrácsra rajzolt térképen (\(\displaystyle n \ge 3\)). Minden négyzet alakú mező víz vagy szárazföld. A négy csapat bázisa a térkép négy sarkában, szárazföldön van. Tudjuk, hogy a térképen egyetlen nagy, összefüggő vízfelület van, és hogy semelyik két bázis között nem vezet út végig szárazföldön haladva. Legalább hány mezőt foglal el víz? (Egy út során akkor léphetünk egyik mezőről a másikra, ha közös élen találkoznak. A vízfelület olyan értelemben összefüggő, hogy bármely mezőjéről bármelyikre vezet ilyen út csak vizes mezőkön keresztül.)

Javasolta: Williams Kada (Cambridge)

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5311. Igaz-e, hogy ha egy háromszög mindhárom szögének szinusza racionális, akkor mindhárom szög koszinusza is racionális?

Javasolta: Hujter Mihály (Budapest)

(3 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5312. Jelölje \(\displaystyle F_k\) a \(\displaystyle k\)-adik Fibonacci-számot (\(\displaystyle F_1=F_2=1\), \(\displaystyle F_{k+1}=F_k+ F_{k-1}\)). Bizonyítsuk be, hogy

\(\displaystyle 2\sum_{k=1}^nF_k^2F_{k+1}=F_nF_{n+1}F_{n+2} \)

teljesül minden pozitív egész \(\displaystyle n\) számra.

Javasolta: Bencze Mihály (Brassó)

(3 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5313. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszögben \(\displaystyle AC<AB<BC\). A körülírt kör középpontja \(\displaystyle O\), a magasságpont \(\displaystyle M\). Az \(\displaystyle AB\) oldal felezőmerőlegese az \(\displaystyle AM\) egyenest a \(\displaystyle P\) pontban, az \(\displaystyle OMP\) kör a \(\displaystyle BM\) egyenest másodszor az \(\displaystyle M\)-től különböző \(\displaystyle Q\) pontban metszi. Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle BC\) egyenes érinti az \(\displaystyle ABQ\) kört.

Javasolta: Kós Géza (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5314. Legyen \(\displaystyle S\) egy \(\displaystyle n\)-elemű halmaz, \(\displaystyle 1\le k\le n\) pedig páratlan egész szám. Legfeljebb hány részhalmaza választható ki \(\displaystyle S\)-nek úgy, hogy semelyik kettő szimmetrikus differenciája ne legyen pontosan \(\displaystyle k\)-elemű?

Javasolta: Pach Péter Pál (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5315. Tekintsünk egy \(\displaystyle ABC\) háromszöget. Az \(\displaystyle AB\) oldal meghosszabbításán, \(\displaystyle B\)-n túl vegyük fel a \(\displaystyle B'\) pontot, továbbá az \(\displaystyle AC\) oldal meghosszabbításán, \(\displaystyle C\)-n túl vegyük fel a \(\displaystyle C'\) pontot úgy, hogy \(\displaystyle BB'=CC'\) teljesüljön. Jelölje \(\displaystyle k\), illetve \(\displaystyle k'\) az \(\displaystyle ABC'\) háromszög, illetve az \(\displaystyle AB'C\) háromszög körülírt körét. Bizonyítandó, hogy \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle k'\) közös húrja az \(\displaystyle A\)-ból induló szögfelezőre esik.

Javasolta: Hujter Mihály (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5316. Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle 0<a,b<1\), akkor

\(\displaystyle (a+b-ab)\big(a^b+b^a\big) > a+b. \)

Javasolta: Bencze Mihály (Brassó)

(6 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5317. A zárt pozitív ortánsban fekvő, \(\displaystyle (x_1;y_1)\) és \(\displaystyle (x_2;y_2)\) fókuszú ellipszis a koordináta-tengelyeket a \(\displaystyle p\) abszcisszájú, illetve a \(\displaystyle q\) ordinátájú pontokban érinti. Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle (p;q)\) pont kollineáris az origóval és az ellipszis centrumával, és számítsuk ki az ellipszis numerikus excentricitását.

Javasolta: László Lajos (Budapest)

(6 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok A beküldési határidő 2023. május 10-én LEJÁRT.

---

A. 851. Legyenek \(\displaystyle k\), \(\displaystyle l\) és \(\displaystyle m\) pozitív egész számok. Legyen \(\displaystyle ABCDEF\) egy olyan középpontosan szimmetrikus hatszög, melynek szögei mind \(\displaystyle 120^{\circ}\)-osak, oldalainak hosszai pedig \(\displaystyle AB=k\), \(\displaystyle BC=l\) és \(\displaystyle CD=m\). Jelölje \(\displaystyle f(k,l,m)\) azt, hogy hányféle módon lehet az \(\displaystyle ABCDEF\) hatszöget átfedés nélkül lefedni olyan egységoldalú rombuszokkal, melyek egyik szöge \(\displaystyle 120^{\circ}\).

Bizonyítsuk be, hogy rögzített \(\displaystyle l\) és \(\displaystyle m\) mellett létezik olyan \(\displaystyle g_{l,m}\) polinom, melyre minden pozitív egész \(\displaystyle k\) esetén \(\displaystyle f(k,l,m)=g_{l,m}(k)\), és állapítsuk meg \(\displaystyle g_{l,m}\) fokát \(\displaystyle l\) és \(\displaystyle m\) függvényében.

Javasolta: Gyenes Zoltán (Budapest)

(7 pont)

megoldás, statisztika

---

A. 852. Legyenek \(\displaystyle (a_i,b_i)\) páronként különböző számpárok, ahol \(\displaystyle 1 \le i \le n\)-re \(\displaystyle a_i\) és \(\displaystyle b_i\) pozitív egészek. Bizonyítsuk be, hogy

\(\displaystyle (a_1+a_2+\ldots+a_n) (b_1+b_2+\ldots+b_n)>\frac{2}{9} n^3, \)

és mutassuk meg, hogy az állítás éles, azaz bármilyen \(\displaystyle c>\frac{2}{9}\) esetén lehetséges, hogy

\(\displaystyle (a_1+a_2+\ldots+a_n) (b_1+b_2+\ldots+b_n)<cn^3. \)

Javasolta: OKTV feladat alapján Pach Péter Pál (Budapest)

(7 pont)

megoldás, statisztika

---

A. 853. Az általános helyzetű \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle A'\), \(\displaystyle B'\), \(\displaystyle C'\) pontokról tudjuk, hogy az \(\displaystyle AA'\), \(\displaystyle BB'\), \(\displaystyle CC'\) egyenesek mind érintik ugyanazt az egyenlő szárú hiperbolát rendre az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) pontokban, továbbá hogy az \(\displaystyle A'B'C'\) háromszög körülírt köre megegyezik az \(\displaystyle ABC\) háromszög Feuerbach-körével. Jelölje \(\displaystyle s(A')\) az \(\displaystyle A'\) pontnak az \(\displaystyle ABC\) háromszög talpponti háromszögéhez tartozó Simson-egyenesét, \(\displaystyle A^*\) pedig legyen az \(\displaystyle A\)-ból az \(\displaystyle s(A')\)-re állított merőlegesnek és a \(\displaystyle B'C'\) egyenesnek a metszéspontja. Hasonlóan definiáljuk a \(\displaystyle B^*\) és \(\displaystyle C^*\) pontokat. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle A^*\), \(\displaystyle B^*\) és \(\displaystyle C^*\) pontok egy egyenesen vannak.

Javasolta: Bán-Szabó Áron (Budapest)

(7 pont)

megoldás, statisztika