KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Cikklista
Trükkös

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A 35. Nemzetközi Fizikai Diákolimpia elméleti feladatai

A részpontszámokat azok kedvéért közöljük, akik - későbbi versenyekre készülve - az olimpiához hasonló feltételek mellett önállóan akarják megoldani a feladatokat. A ,,hivatalos'' megoldást és a mérési feladatot a KöMaL novemberi számában ismertetjük.

A feladatok kidolgozására 5 óra állt rendelkezésre.

1. feladat. ,,Pingpong-ellenállás''

Egy síkkondenzátor két kör alakú, párhuzamos lemezből áll, mindkettő sugara R, a közöttük lévő távolság d, ahol d \(\displaystyle \ll\)R (1.(a). ábra). A felső lemez egy állandó feszültségforráshoz csatlakozik, amelynek potenciálja V, míg az alsó lemez földelt. Az alsó lemez közepére egy vékony, kicsiny, m tömegű korongot helyezünk, melynek sugara (\(\displaystyle \ll\)R, d), vastagsága (\(\displaystyle \ll\)r), (1.(b). ábra).

1. ábra. (a): Állandó feszültségforráshoz csatlakozó síkkondenzátor vázlatos rajza. (b) A párhuzamos lemezek oldalnézete a kondenzátorba helyezett kisméretű koronggal

Tételezzük fel, hogy a lemezek közötti térrészben vákuum van, amit az \(\displaystyle \varepsilon\)0 dielektromos állandó jellemez, továbbá a lemezek és a korong tökéletes vezetőanyagból készültek, illetve mindenféle elektrosztatikus él-effektust elhanyagolhatunk. Az egész áramkör induktivitásától és a relativisztikus hatásoktól szintén eltekinthetünk. A tükörtöltés hatásokat is elhanyagolhatjuk.

(a) (1,2 pont) Határozd meg az egymástól d távolságra lévő lemezek között ható Fp elektrosztatikus erőt, mielőtt a korongot a kettő közé helyeztük, amint ezt az 1.(a). ábra mutatja.

(b) (0,8 pont) Az 1.(b). ábrán lévő kicsiny korong q töltése a következő módon adható meg a felső lemez feszültségének függvényében: \(\displaystyle q=\chi V\). Határozd meg a \(\displaystyle \chi\) paramétert r, d és \(\displaystyle \varepsilon\)0 függvényében!

(c) (0,5 pont) A síkkondenzátor lemezei a g homogén gravitációs térre merőlegesen helyezkednek el. A kezdetben nyugalomban lévő korong megemeléséhez egy bizonyos Vk küszöbérték fölé kell növelnünk az alkalmazott feszültséget. Fejezd ki Vk-t m, g, d és \(\displaystyle \chi\) segítségével!

(d) (2,3 pont) Ha V > Vk, a korong föl-le fog mozogni a lemezek között. (Tételezzük fel, hogy a korong mindenféle billegés nélkül, kizárólag függőlegesen mozog.) A korong és a lemezek közötti ütközések részben rugalmatlanok, amit az \(\displaystyle \eta\) ütközési számmal jellemezhetünk: \(\displaystyle \eta\equiv\frac{v_{előtt}}{v_{után}}\), ahol velőtt és vután rendre a korong sebessége közvetlenül az ütközés előtt és után. A lemezek végig rögzítettek, nem mozdulnak el. Hosszú idő után a korong ,,állandósult'' mozgást fog végezni, a korong viselkedése ismétlődő mozgáshoz tart, melyben a korong vs sebességét közvetlenül az alsó lemezzel történő ütközés után a következő módon fejezhetjük ki a V feszültséggel:

\(\displaystyle v_s=\sqrt{\alpha V^2+\beta}. \)

Fejezd ki az \(\displaystyle \alpha\) és \(\displaystyle \beta\) együtthatókat m, g, \(\displaystyle \chi\), d és \(\displaystyle \eta\) felhasználásával! Tételezd fel, hogy az ütközésekkor a korong teljes felülete egyenletesen és egyszerre érinti a lemezeket, és a teljes töltéscsere minden ütközéskor pillanatszerűen történik.

(e) (2,2 pont) Az állandósult állapot elérése után a kondenzátor lemezein keresztülfolyó áram I időátlagát így közelíthetjük: I=\(\displaystyle \gamma\)V2, ha teljesül a qV\(\displaystyle \gg\)mgd feltétel. Fejezd ki a \(\displaystyle \gamma\) együtthatót m, \(\displaystyle \chi\), d és \(\displaystyle \eta\) segítségével!

(f) (3 pont) Ha az alkalmazott V feszültséget (rendkívül lassan) csökkentjük, akkor elérünk egy olyan Vc kritikus feszültséget, amely alatt az áramkörben hirtelen megszűnik az áram. Határozd meg Vc értékét, és a hozzá tartozó Ic áramot m, g, \(\displaystyle \chi\), d és \(\displaystyle \eta\) segítségével! Készíts vázlatos grafikont (melyben összehasonlítod Vc értékét a (c) alkérdésben tárgyalt Vk felemelkedési küszöbértékkel) az áram-feszültség karakterisztikáról, vagyis az I-V függvényről, miközben V először nulláról nagyjából 3Vk-ra növekszik, majd újra nullára csökken.

2. feladat. Felemelkedő ballon

Egy héliummal töltött gumiballon a levegőben magasra emelkedik, olyan régiókba, ahol a nyomás és a hőmérséklet a magasság növekedésével csökken. A következő kérdések tanulmányozásánál tételezzük fel, hogy a ballon a terheléstől függetlenül minden esetben gömbölyű marad, és hanyagoljuk el a terhelés térfogatát. Tegyük fel azt is, hogy a ballonban lévő héliumgáz hőmérséklete mindig azonos a környező levegő hőmérsékletével, és minden gázt kezeljünk ideális gázként. Az univerzális gázállandó R = 8,31 J/mol.K, és a hélium, illetve a levegő moláris tömege rendre MH= 4,00.10-3 kg/mol, illetve MA= 28,9.10-3 kg/mol. A nehézségi gyorsulás g = 9,8 m/s2.

A rész: (a) (1,5 pont) A környező levegő nyomása legyen P, hőmérséklete pedig T. A ballon ,,felületi feszültségének'' következtében a ballon belsejében a nyomás nagyobb a külső nyomásnál. A ballon n mol héliumgázt tartalmaz, és a belsejében a nyomás P+\(\displaystyle \Delta\)P. Határozd meg a ballonra ható felhajtóerőt P és \(\displaystyle \Delta\)P függvényében!

(b) (2 pont) Egy szép nyári napon Koreában a levegő T hőmérséklete a tengerszint feletti z magasság függvényében a T(z)=T0 (1-z/z0) függvény szerint változott a 0 < z < 15 km tartományban, ahol z0= 49 km és T0= 303 K. A tengerszinten a nyomás, illetve a sűrűség értéke P0= 1,01 .105 Pa, illetve \(\displaystyle \varrho\)0= 1,16 kg/m3 volt. Ebben a magasság tartományban a nyomás a

(2.1)\(\displaystyle P(z)=P_0{(1-z/z_0)}^\eta. \)

formulával adható meg. Fejezd ki az \(\displaystyle \eta\) kitevőt a z0, \(\displaystyle \varrho\)0, P0 és g paraméterekkel, és határozd meg numerikus értékét két értékes számjegy pontossággal. A nehézségi gyorsulást tekintsd a magasságtól független konstansnak.

B rész: Ha egy gömb alakú, nyújtatlan állapotban r0 sugarú gumiballont (> r0) sugarúra fújunk fel, a gumi megnyúlása miatt a ballon felülete extra rugalmas energiára tesz szert. Egy egyszerű elmélet szerint állandó T hőmérsékleten ennek a rugalmas energiának az értéke

(2.2)\(\displaystyle U=4\,\pi\,r_0^2\kappa\,RT\left(2\lambda^2+\frac{1}{\lambda^4}-3\right), \)

ahol a \(\displaystyle \lambda\)\equivr/r0 (\ge1) számértéket lineáris méretnövekedési aránynak nevezzük, a \kappa paraméter pedig egy mol/m2 dimenziójú állandó.

(c) (2 pont) Fejezd ki \DeltaP-t a (2.2) egyenletben szereplő paraméterek függvényében, és ábrázold vázlatosan a \DeltaP nyomáskülönbséget a \lambda=r/r0 mennyiség függvényében.

(d) (1,5 pont) A \kappa konstans meghatározható a ballon felfújásához szükséges gáz mennyiségéből. A feszítetlen falú (\lambda=1) ballon T0=303 K hőmérsékleten és P0= 1,01 .105 Pa nyomáson n0= 12,5 mol héliumot tartalmaz. Ugyanezen a T0 hőmérsékleten és P0 nyomáson a \lambda= 1,5 méretűre felfújt ballon összesen n =3,6.n0= 45 mol héliumot tartalmaz. Fejezd ki n, n0 és \lambda segítségével az a = \kappa/\kappa0 képlettel definiált úgynevezett ,,ballonparamétert'', ahol \kappa_0\equiv\frac{r_0P_0}{4RT_0}, valamint határozd meg a értékét két értékes számjegy pontossággal.

C rész: A ballont tengerszinten a (d) pontban leírt módon készítjük elő (azaz n =3,6 .n0= 45 mol hélium gázzal \lambda= 1,5 méretűre fújjuk fel T0= 303 K hőmérsékleten és P0= 1 atm = 1,01 .105 Pa nyomáson). A szerkezet teljes tömege (figyelembe véve a gumiballont, a bezárt gázt és minden egyéb terhet) MT= 1,12 kg. Ekkor a tengerszintről elengedjük a ballont.

(e) (3 pont) Tegyük fel, hogy a ballon zf magasságig emelkedik, és ott megáll. Ezen a szinten a felhajtóerő egyensúlyt tart a nehézségi erővel. Határozd meg zf értékét, valamint ebben a magasságban a \lambdaf paramétert (lineáris méretnövekedési arányt). Válaszodat két értékes jegy pontossággal add meg. A ballon nem sodródik oldalirányban, és nem szökik el belőle gáz.

3. feladat. Atomi erő mikroszkóp

Az atomi erő mikroszkóp (Atomic probe microscope, APM) a nano-tudomány igen hatékony eszköze. Az APM érzékelő karjának elmozdulását egy fotóérzékelő detektálja, az érzékelő karról visszavert lézersugár segítségével, ahogyan a 2. ábrán látható. Az érzékelő kar csak függőleges irányban képes mozogni, és a kar z elmozdulása az idő (t) függvényében a következő differenciálegyenlettel írható le:

(3.1)
m\frac{d^2z}{dt^2}+b\frac{dz}{dt}+kz=F,

ahol m a kar tömege, k=m\omega02 az érzékelő kart jellemző rugóállandó, b egy kicsiny csillapítási állandó, melyre teljesül, hogy \omega0 \gg(b/m)>0, és végül F a piezoelektromos meghajtó által keltett külső gerjesztő erő.

2. ábra. Az atomi erő mikroszkóp (APM) vázlatos rajza. Az ábra jobb alsó sarkában látható kinagyított rész a piezoelektromos meghajtó és az érzékelő kar közti csatolás egyszerűsített mechanikai modelljét mutatja

A rész

(a) (1,5 pont) Ha a gerjesztő erő F=F0 sin \omegat alakú, akkor a (3.1) egyenlet z(t) megoldása z(t)=Asin  (\omegat-\phi) alakban írható, ahol A>0 és 0\le\phi\le\pi. Fejezd ki az A amplitúdót valamint a \mathop{\rm tg}
\phi mennyiséget az F0, m, \omega, \omega0 és b paraméter függvényében! Határozd meg az amplitúdót és a \phi fázist az \omega=\omega0 rezonanciafrekvencián!

(b) (1 pont) A 2. ábrán szereplő lock-in erősítőben létrejön a bemeneti jelnek és a V_R=V_{R_0}\sin\omega t úgynevezett lock-in referencia jelnek a szorzata, és az erősítő kimenetén a szorzatnak csak az egyenáramú (DC) komponense jelenik meg. Tegyük föl, hogy a bemeneti jel V_i=V_{i_0}\sin\,(\omega_it-\phi_i) alakú. Az itt szereplő V_{R_0}, V_{i_0}, és \phii mennyiségek mindegyike adott pozitív állandó. Határozd meg, hogy milyen \omega (>0) frekvencia mellett kapunk nem zérus kimenő jelet! Add meg a nem zérus, egyenáramú (DC) kimenő jel nagyságát leíró formulát ezen a frekvencián!

(c) (1,5 pont) A ,,fázistoló'' egységen átjutó, eredetileg V_R=V_{R_0}\sin\omega t alakú lock-in referencia jel alakját a fázistoló egység után a V'_R=V_{R_0}
\sin\,(\omega t+\pi/2) formula írja le. A V'R feszültség hatására a piezoelektromos meghajtó az érzékelő kart F=c1 V'R erővel gerjeszti. Ezután a fotoérzékelő az érzékelő kar z elmozdulását Vi =c2 z alakú feszültségjellé alakítja. A formulákban szereplő c1 és c2 mennyiségek állandók. Határozd meg a nem zérus, egyenáramú (DC) kimenő jel nagyságát leíró formulát az \omega=\omega0 frekvencián!

(d) (2 pont) Az érzékelő kar tömegének kicsiny \Deltam megváltozása \Delta\omega0-lal eltolja a rezonanciafrekvenciát. Ennek következtében az eredeti, rezonanciafrekvenciához tartozó \phi fázis is \Delta\phi-vel eltolódik. Határozd meg azt a \Deltam tömeg változást, melynek hatására \Delta\phi=\pi/1800 nagyságú fáziseltolódás jön létre! Tipikusan ilyen nagyságú a fázistolás-mérések pontossága. Az érzékelő kart jellemző fizikai paraméterek értéke a következő: m=1,0.10-12 kg, k=1,0 N/m és (b/m)=1,0.103 s-1. Használd az |x| \ll1 esetén érvényes (1+x)a\approx1+ax és \mathop{\rm tg}\,(\pi/2+x)\approx-1/x közelítő formulákat!

B rész

Mostantól kezdve azt az esetet vizsgáljuk, amikor az A részben tárgyalt gerjesztő erőn kívül még az 2. ábrán látható minta is hat valamilyen erővel az érzékelő karra.

(e) (1,5 pont) Annak ismeretében, hogy a minta által kifejtett f(h) erő csak a minta felszíne és az érzékelő kar közti h távolságtól függ, meghatározható az érzékelő kar egyensúlyi helyzetének új h0 értéke. A h=h0 érték közelében az erő az f(h)\approxf(h0)+c3 (h-h0) alakban írható fel, ahol c3 állandó, nem függ h-tól. Fejezd ki az új \omega'0 rezonanciafrekvenciát \omega0, m és c3 segítségével!

(f) (2,5 pont) A mintát a mikroszkópban vízszintesen mozgatva pásztázzuk a minta felszínét. Az érzékelő kar tűje, melynek töltése Q=6e, egy q=e töltésű, a felszín alatt bizonyos mélységben csapdába került (térben lokalizált) elektron közelébe jut. A csapdázott elektron környékén pásztázva a felszínt, a rezonanciafrekvencia maximálisan észlelhető eltolódása \Delta\omega0 (=\omega'0 -\omega0), ami jóval kisebb, mint \omega0. Fejezd ki a csapdázott elektron és az érzékelő kar közötti d0 távolságot maximális frekvencia eltolódás esetén az m, q, Q, \omega0, \Delta\omega0 mennyiségek és a ke Coulomb állandó segítségével! Határozd meg d0 számértékét nm-ben (1 nm = 1.10-9 m) \Delta\omega0 =20 s-1 frekvencia eltolódás mellett!

Az érzékelő kar fizikai paraméterei: m= 1,0 .10-12 kg és k=1,0 N/m. Az érzékelő kar tűjében, valamint a minta felületén tekintsünk el a polarizációs effektusoktól. Fizikai állandók: ke =1/4\pi\varepsilon0 =9,0.109 N.m2/C2 és e=-1,6.10-19 C.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley