 |
Kós Rita:
Kúpszeletek és Dandelin-gömbjeik
|
Egy egyenes körkúpot a csúcsára nem illeszkedő
síkkal elmetszve különböző görbéket kapunk síkmetszetként a szerint,
hogy a sík a kúp tengelyével mekkora szöget zár be. Ha a bezárt szög
megegyezik a kúp félnyílásszögével (azaz a sík egy alkotóval
párhuzamos), akkor parabola, ha kisebb, mint a félnyílásszög
(azaz két alkotóval párhuzamos a sík), akkor hiperbola, ha
nagyobb, mint a félnyílásszög (azaz minden alkotót metsz), akkor
ellipszis, ha a sík a tengelyre merőleges, akkor kör
lesz a síkmetszet.
A kúpszeletekkel nagyon sok matematikus foglalkozott;
a legfontosabbakat a Kúpszelet-történelem című oldalon
igyekeztünk összegyűjteni.
A most megnevezett görbéket azonban inkább pontok
mértani helyeként, ponthalmazként tartjuk számon.
A parabola azon pontok mértani helye a síkban, amik
egy adott egyenestől és egy adott (az egyenesre nem illeszkedő)
ponttól egyenlő távolságra vannak.
Az ellipszis azon pontok mértani helye a síkban,
amelyek két adott ponttól mért távolságának összege állandó, amely
állandó nagyobb az adott pontok távolságánál.
A hiperbola azon pontok mértani helye a síkban,
amelyek két adott ponttól mért távolságának különbsége állandó, amely
állandó kisebb az adott pontok távolságánál.
A görbék kétféle definíciójának egyenértékűségét,
másszóval az azonos elnevezés jogszerűségét bizonyítani kell. A
legegyszerűbb eljárást erre a bizonyítás során felhasznált
érintőgömbök "feltalálójáról", Dandelinről Dandelin-gömbös
bizonyításnak is nevezik. Az oldal célja, ennek minél
plasztikusabb bemutatása.
| 
