Fórum: Tizenegyszög szerkesztése egy körben

Hello mindenkinek! Tudni szeretném, hogy létezik e olyan matematikai tétel, szabály, aminek a segítségével egy szabályos kört, -szerkesztéssel - 11 azonos cikkre lehet felosztani. Ez számomra egy igen izgalmas probléma, és remélem, hogy ezen a fórumon találok jó néhány lelkes embert, akit szintén izgat ez a probléma.

Őszintén szólva nem vagyok járatos a számok világában, de egy történelmi kutatás során botlottam bele ebbe a problémába, és azt sem tudom, hogy ez a "probléma " egyáltalán matematikai, geometriai probléma e. Lehet, hogy ez a világ legegyszerübb feladata ????

Üdv: Alex

Pontosan azok a szabályos n-szögek szerkeszthetők meg, ahol n=2^k.p₁^.p₂^....^.p_l alakúak, ahol a p_i számok 2^2m+1 alakú (azaz Fermat-)prímek.

Ez alapján szabályos 11-szög nem szerkeszthető.

Konkrétan nem tudom hol található meg ennek a bizonyítása, de én pl. egyetemen tanultam ezt algebrából csoportelmélet keretében.

Kedves SIRPI! Az bizonyosnak látszik a válaszodból, hogy tévedtem. Mégsem ez a világ legegyszerübb feladata. Mint mondtam, a matematika számomra egy rejtélyes, félelmetes, érthetetlen világ, és pusztán tévedésből vagyok itt, de egy dolgot biztosan állithatok. Van egy megoldás, de nem tudom bizonyitani. Nem én állitottam fel a képletet, csak megfejtettem egy közel 800 éves rejtélyt, - üzenetet. Egx szabályos körbe beleszerkeszthető a 11 azonos méretű körcikk. Kellene néhány okos, lelkes matematikus, akik csapatmunkában leforditanák a számok nyelvére azt, amit én csak elmagyarázni, lerajzolni tudok. Bizonyithatnánk, hogy az elődeink sok évszázaddal ezelőtt tudtak valamit, amit mi, - a TE véleményed szerint - nem tudunk. Valami igazán csodálatos dologba tenyereltem bele, de egyedül nem tudom megmutatni a világnak..... Üdv: Alex.

Bocs a megjegyzésért, de mégis meg kell jegyeznem, hogy a matematikában szerkesztés alatt, csak körzővel és beosztás nélküli vonalzóval való szerkesztést értünk, tehát minden más ezköz használata tilos. Amennyiben ilyen szerkesztés létezik-és ez ellentmondana Gaussnak-nagyn de nagyon kiváncsi lennék, és gondolom mindenki akit csak kicsit is érdekel a matematika. Tehát ha lehetne egy kicsit bővebb felvilágosítást...

Megadom a kért felvilágositást, természetesen, de kicsit még várok. Egy jó csapat kialakulására....

A szerkesztés alatt természetesen én is kizárólag a körző és vonaltó használatát engedtem meg magamnak. Egyéb eszközöm, lehetőségem, és tudásom sincs.

Üdv: Alex.

Tudom, ezek nagy szavak, de ha mégis sikerülne a szerkesztés (amit teljességgel kétlek), akkor az a matematika összeomlásával járna, mivel egy állítás és annak tagadása is igaz lenne.

Szóval azt kell mondjam, teljesen szkeptikus vagyok a kérdésben. De bármilyen szintű meggyőzésemhez (ami - mint a leírtakból kiderült - nem lesz könnyű) nem ártana, ha a megoldásról kapnánk egy vázlatot.

Megj: A szerkeszthetetlenség a Galois-elmélet segítségével igazolható.

Sziasztok!

Nemrégiben hallgattam egy előadást a szabályos sokszögek szerkesztésével kapcsolatban, ahol beláttuk, hogy egy szabályos n-szög akkor és csak akkor szerkeszthető, ha n egy 2-hatvány és különböző Fermat-prímek szorzata. Engem is nagyon érdekelne ez a szabályos 11-szög szerkesztés, mert az igencsak ellentmondana az előadáson hallottakkal...

Sziasztok!

Természetesen a legtöbb híres, euklideszi úton megoldhatatlan szerkesztési feladatra léteznek közelítő megoldások. Ezek nagy pontossággal állítják elő a kívánt eredményt, ugyanakkor mégsem a valódi megoldást szolgáltatják - csak szerkesztőeszközeink tökéletlensége miatt a konkrét megvalósításnál ennek nincsen jelentősége. Éppen ezért a gyakorlatban sokszor alkalmaznak ilyen módszereket. Közelítő szerkesztés természetesen a 11-szög, és általában a szabályos n-szög szerkesztésére is létezik. Könnyen lehet, hogy intuitív módon valami ilyesmiről van szó most is. A következő közelítő eljárást például a szakközépiskolákban tanítják is Műszaki ábrázolás tantárgyból.

Legyen BD a kör egy átmérője, osszuk ezt fel n (most n=11) egyenlő részre, és legyen F a második osztópont. Legyen G a BD fölé rajzolt valamelyik szabályos háromszög harmadik csúcsa. Legyen a GF egyenes és a kör G-hez "közelebbi" metszéspontja M. Ekkor BM közelítőleg a körbe rajzolt szabályos n-szög oldalát adja.

CAD-del megszerkesztettem és a különbség kb 0,4205 - 0,421 fok körüli lehet. Az egységnyi sugarú köríven a két pont távolsága 0,00735, ahol az utolsó jegy 0-ra v. 5-re kerekített lehet csak.

Kedves Sirpi! Te voltál az első, aki válaszolt, ezért úgy döntöttem, hogy Veled levelezek, és a Neked leírtakkal válaszolok a többieknek is. Remélem senki sem bántódik meg emiatt, és marad az érdeklődés. A Te teljes szkepticizmusod számomra a legbiztatóbb dolog. Hidd el, hogy én sem hittem a szememnek, amikor megláttam a pauszon az ábrát. Én akkor nem '' ezt '' kerestem! Azt még egyszer, és utoljára elmondom mindeknek, hogy én nem csak tornából voltam felmentve, hanem matematikából is, ettől függetlenül mindig vonzottak a számok. Ezt csak azért tartottam fontosnak megírni, mert természetesen fogalmam sincs például a Galois-elméletről. Kis türelmet kérek mindenkitől, mert ahhoz, hogy megadhassam a beígért információkat pár dolgot még meg kellene oldanom, hogy a netre felvihessem a szükséges anyagokat. Kell egy térkép, kell az én rajzom, és egy rövidített történeti áttekintés, hogy mindenki számára érthető legyen a dolog. Mi most nem matematika órát fogunk tartani, hanem történelem órát. Az én álltásom szerint egy adott történelmi pillanatban valaki, vagy valakik létrehoztak egy rendszert. Nem tudni, hogy milyen szándékkal. Még azt sem tartom kizártnak, hogy fatális véletlenek sorozatával állunk szemben. Egy történelmi tény létét, vagy nemlétét bizonyíthatnánk a matematika eszközeivel. Sajnos ez a történelmi probléma olyan sokrétű, olyan szerteágazó, hogy az ismertetése nem lesz egyszerű feladat.

Íme a rövid történelmi bevezető: A német lovagrend kelet-európai működése a thüringiai Hermann von Salza (1209-1239) nevéhez köthetők. Első európai vállalkozásuk Magyarországon kezdődött 1211-ben. A Szentföldről éppen kivonulóban levő lovagok egy részét II. András magyar király hívta be, és Erdélybe, a Barcaságba telepítette le őket, hogy megvédjék az országot a kunoktól. A rend Brassó környékét tette meg székhelyének. Számos kiváltságot nyertek a királytól és a pápától, sőt benépesíthették az addig lakatlan területet. Lehetőséget kaptak a havasalföldi kun szállásterületek elfoglalására és várak építésére. 1223-ban kivonták őket az erdélyi püspök fennhatósága alól.

A Német Lovagrend azonban lehetőségeivel úgy akart élni, hogy önálló, a magyar királytól független államot alapíthassanak. 1224-ben Hermann von Salza felajánlotta III. Honorius pápának a rend területeit mint független államot, a Szentszék hűbérének. András ezt többször megtiltotta, s miután a figyelmeztetéseit semmibe vették, fegyverrel űzte el őket (1225)

Néhány további gondolat, és tudnivaló a tények kedvéért. A lovagok öt várat építhettek, de csak favárak építésére kaptak engedélyt. Ennek ellenére megépítettek öt kő várat. Egyet például a király akaratával szembe szegülve, a magyar területeken kívülre építettek. Évszázados vita a történészek között, hogy melyik az a bizonyos öt vár. Én ennek az öt várnak a helyét szerettem volna egy bizonyos logika mentén megtalálni.

Lenne egy kérésem is a Csapathoz. Matematikai kérdésekben bármit elvitathattok, de a történelmi igazság tényét itt, és most ne vitassuk. A történelmi kérdéseket tekintsétek körítésnek. Fogadjátok el, int szükséges rosszat.

Ennyit mára.

Kedves Mediator! (elnézést, ha valamit nem úgy teszek ahogy kellene, még új vagyok itt)

Engem alapvetően jobban érdekel a történelem, mint a matematika, szóval én pl. szívesen hallom a dolgok ezen oldalát.

Viszont tisztában vagyok azzal, hogy pl. nem minden ókori filozófus állítása érvényes ma is. Vagyis attól, hogy van egy most van egy új feltételezés, miszerint tizenegyszöget lehet szerkeszteni a körbe, nem biztos, hogy igaz is, hiszen a Német Lovagrend korában nem lehetett olyan pontos a mérés sem annak az ellenőrzése. De szívesen meghallgatom az állítást.

Kedves Csagi! A fórumon kezdeményezett téma céljától, - egy matematikai probléma megoldásától - nem térnék el, de szívesen viszem a történelmi vonalat is, mivel az hozzám is közelebb áll. Azzal az állításoddal, hogy " a Német Lovagrend korában nem lehetett olyan pontos a mérés sem annak az ellenőrzése " nehéz lenne vitatkozni. Ettől függetlenül ajánlom figyelmedbe a Templomos Lovagrend bornholm-i templom építésével kapcsolatos munkákat.( ERLING HAAGENSEN és HENRY LINCOLN A templomosok titkos szigete ) Ezekben az írásokban számokkal tényekkel igazolják a szerzők, hogy ezek az építő mesterek képesek voltak nulla értékű pontossággal mérni, nagy távolságokban.!!!!! Ezen túlmenően emlékeztetnélek még egy vonatkozására ennek a kérdésnek. A templomosok titkos szigete című műben azt írták a szerzők, hogy "...a gótika - ez a különleges és eredeti építészeti stílus - viszonylag hirtelen jelent meg az 1130-as évek Franciaországban, és egységes egészként, minden látható fejlődési vonal vagy kísérletezés nélkül. Itt említik meg a szerzők, hogy a templomos lovagok 1127-ben tértek vissza Jeruzsálemből, s jelentették fő támogatójuknak, Clairvaux-i Bernardnak, hogy a küldetést - bármi volt is az - teljesítették. Szoros időbeli kapcsolatot lehet kimutatni a templomosok és a gótikus stílus megjelenése között.

Ez azt jelenti, hogy a gótikus építészeti stílust, a gótika stílusjegyeit a templomosok Jeruzsálemből hozták magukkal. Ha megpróbáljuk értelmezni ERLING HAAGENSEN és HENRY LINCOLN kijelentéseit, akkor azt kellene feltételeznünk, ez a különleges építészeti stílus Jeruzsálemben megismerhető, fellelhető volt a XII. században, de ez nem így van. A mai Jeruzsálem korabeli építészeti emlékei között a gótika stílusjegyeit még nyomokban sem lehet fellelni. Ez azt jelenti, hogy templomosok vagy nem Jeruzsálemben ismerték meg ezt az építészeti stílust, vagy ha mégis, akkor nem az utcán látták, hanem valahol titokként elrejtve fedezhették fel.

A legizgatóbb kérdés az lehet, hogy ezt a titkot ki rejthette el, és miért ? Egy földönkívüli civilizáció tagjai szerették volna a földön felépíteni az elhagyott világuk mását, vagy egy elfelejtett, elveszett civilizáció nyomait fedezték fel a Templomhegy katakombáiban? Vagy az Úr akarta segíteni az emberiséget, hogy vályogviskók helyett méltó körülmények között élhessenek? Ki tudja? Az mindenesetre tény, hogy az elrejtett titkot felfedezzék, és éltek vele, de ez még nem minden. Nem volt elég tudni a titkot, élni is kellett vele, de ehhez pénz kellett. Sok pénz.

Kevesebb, mint száz év alatt nyolcvan, a Notre-Dame-hoz hasonló hatalmas katedrális épült szerte Európában. Lehetetlen megmondani, hogy hol építették az első csúcsíves boltozatot, mivel egész Európában egyszerre jelentek meg ezek az épületek. Rejtélyesnek mondható a gótika megjelenése, de még ennél is titokzatosabb a munkák anyagi háttere.

A cisztercita szerzetesek jeleskedtek ebben. Az a rend amelynek vezetője - Clairvaux-i Bernát - alapította a Templomos Lovagrendet, és később a Német Lovagrendet is. A cisztercita szerzetesek a Barcaságban is megépítették a maguk templomát. Prázsmáron, és ez a prázsmári vártemplom fontos részét képezi annak a geometriai ábrának, amelynek igaz, vagy hamis voltát most a matematika, és a matematikusok segítségével próbálom kideríteni.

Az én ambícióm a Lovagrend által épített öt vár " megtalálása ", és ebben segíthet az a geometriai ábra, amelyik mellesleg egy igen izgalmas matematikai probléma megoldását is rejtheti.

Kedves mediator!

Belemehetünk az építészet történetébe, de ez ugyanúgy offtopik, mint a Templomos Lovagok -egyébként érdekes, de óvatos fenntartásokkal kezelendő- története.

A gótika kezdete valóban Franciaország és az 1130-as évek eleje, s talán a templomosok is belehozhatók, de nem kell misztifikálni az egészet.

Ezidőtájt egy -a megszilárduló feudalizmus miatt is- gazdasági fellendülés jellemezte Európát ill. új szellemi források hatottak rá a keresztes hadjáratok miatti -külső és belső- mobilitásból következően. Építészeti stílus oldaláról szemlélve pedig a román stílusnak szerves folytatása a gótika. Cél a minél magasabbra törő épületek, mind szakrális (katedrálisok), mind világi (lakótornyok, várak) területen. A gazdagodó mecénások újat és nagyobbat kívántak a szakmailag felnövő mesterektől és ők újítottak. A magasabb épületet a felfelé karcsúsítással, csipkézéssel és csúcsíves (közelítve az optimális parabola formához) lefedéssel tudták növelni a zömökebb falakkal és boltíves lefedéssel szemben. A folyamatos átmenetet több épület is bizonyítja, akár a Kárpát medencében is. Több, román stílusban elkezdett templom lezárását már részben csúcsívesen oldottak meg, de ettől még az építészettörténet a román stílushoz sorolja, ill. az Európában szétterjed új stílus a perifériák felé egy átmeneti stílust alakít ki: már több, mint román, de még nem teljesen tiszta (, habár nevében már) gótikus. (Ják, Zsámbék)

(1) Abból még nem következik a templomos forrás, hogy másfél két évtizeddel az új stílus megjelenése előtt érkeztek haza, hogy miattuk van az. Másrészt ezen hatás először bizonyítani kellene, és egyszerűbb magyarázattal, mint a szakma által elfogadott. (2) Abból még nem következik a templomos forrás, hogy ők hazatértek ill. ők tértek haza. Mások is voltak korábban hazatérően harcolni (rabolni) ugyanott a Szentföldön. (3) Abból még nem következik a templomos forrás, hogy hazatérve új tudást hoz(hat)tak magukkal.

Tehát hagyjuk a templomosokat és a gótikát, várjuk a szigorúan vett matematikát.

Kedves mediator!

Történeti fejtegetéseid és azok matematikai vonatkozásai felkeltették az érdeklődésemet. A Google segítségével keresni kezdtem Prázsmárral kapcsolatos oldalakat és találtam is itt egy ismertetőt, melyből kiollóztam az alábbi két bekezdést.

'(Prázsmár) Szent Kereszt tiszteletére szentelt templomát 1240-ben említi oklevél.'

'Bejáratként alagútszerűen kiképzett kapuvédőművet építettek, amelyet öt helyen is elzárhattak tölgyfa kapukkal. A ma is meglévő nagyméretű kapubástya alatt még megvan az alagútrendszer folyosója, melynek közepe táján a leereszthető védőrács eredeti helyén található. A templomerődön belül az elő- és a belső udvar védőfalához két-három emelet magasságban összesen 275 kamra épült, az ezek előtt végigfutó, fából készült nyílt folyosókkal, a hozzájuk felvezető karfás lépcsőkkel. Ezekben a kamrákban nemcsak tulajdonosaik találtak menedéket, hanem itt helyezték el értékeiket, élelmiszereiket is. A kamrák ma is teljes épségükben állnak. Egykor magát a települést is fal vette körül, melynek öt kapuja volt.'

A félkövér számok tehát: 5 és 275. Te pedig, kedves mediator a szabályos 11-szög szerkesztését feszegeted, s megemlíted azt is, hogy (idézlek): Az én ambícióm a Lovagrend által épített öt vár 'megtalálása'... Itt is felbukkan tehát a hőn áhított 5.:-) Ezek után kapcsoljuk össze az eddig igencsak frekventált 5-öt, 11-et és az imént felbukkant 275-öt így:

275=5²ÿ11

Ugye, érdekes?

Üdvözlettel: sakkmath

Kedves Sakkmath!

Nagyon sok érdekes dolog van ebben az ügyben. Sajnos eddig kevés olyan emberrel találkoztam, akinek legalább feltünt volna ez a sok szokatlan összefüggés. A prázsmári vártemplomban a látogatókat tájékoztató táblákon szó sincs arról, hogy a Lovagrendnek bármi köze lett volna az erőd épitéséhez, és az épitkezés kezdetének dátuma is lényegesen eltér a lovagok tevékenységének idejétől. Ez az ottani, mostani hivatalos álláspont. Ettől függetlenül a személyzet készségesen elmondja az érdeklődőknek, hogy ez hazugság. Valami érthetetlen ok miatt a régi rendszerben volt valakinek valamilyen érdeke abban, hogy ez a hamis álláspont terjedjen el.

Van egy román fiatalok által üzemeltetett oldal, ahol a menekülö Német Lovagrend nagymestere által elrejtett kincseket keresik. Az erődtemplomban. Én természetesen nem keresem ezt a kincset, de az bizonyosnak látszik, hogy a Lovagrend szerepét nem lehet Prázsmárral kapcsolatosan elvitatni.

Ide illesztek egy idézetet a netről ( http://www.brasso.ro/altalanos/videk.htm#top )" Az ablakok egy része csúcsíves, a többi köríves. Az egyenes szárú keresztlap a lovagrenddel állhat összefüggésben, s feltételezik, hogy ők kezdték el a templom építését még 1225 előtt a szent kereszt tiszteletére. A keleti szárnyat, mely a szentélyt helyettesíti, jellegzetes ciszterci oldalkápolnák tagolják. "

Egyetlen bánatom, hogy a prázsmári erődtemplom nem illeszkedik bele a geometriai ábrába. Az ábra nem bizonyitja azt, hogy ez az erőditmény az egyike lenne a keresett öt várnak. Ettől függetlenül a prázsmári erőd szervesen illeszkedik abba a misztikus ábrába, ami a barcasági várak köré szerkeszthető.

Üdv!

Csak egy kis adalék, amit én tudok hozzátenni:

Prázsmár-képek, térkép

Prázsmár: Első írásos megjelenésének Prasmar okmánya 1235-70 közöttire datálható. A név eredete tisztázatlan, talán szláv, mivel sok nyugati szláv hasonló név létezik (Prosimír, Prosmir). A n. Tartlau a közeli folyócska nevéből ered, melynek neve török eredetű. Így itt a szászság már erősen lakott helyre és többnyelvű népességre telepíttetett le.

Nos, nagyon sok, szép történelmi információhoz jutottunk, talán itt lenne az ideje, hogy lássuk is azt a misztikus ábrát, vagy akármit amiből ugy gondolod, hogy összefügg a szabályos tizenegyszög szerkesztésével.

Ma éjszaka lesz a nagy nap...

Már alig várom.

áá, kezdek izgulni

Szerintetek definíció szerint meddig tart az éjszaka? :-)

Lassan dél van, és hiányzik a beigért csemege:(

már itt az este... még semmi:'(

Kaja is lesz? Én is kérek!

Kedves Mindenkinek! Nem szeretek, de kénytelen vagyik mindenkitől elnézést kérni. Vétkem - a késedelem miatt - szeretnék elnézést kérni. Magyarázkodni nem akarok, csupán néhány tény. Veszedelmes korban - 58 évesen - túl vagyok egy infarktuson. 14 napja hoztak haza, és a nejem véleménye szerint mit ér vele, ha én leszek a legismertebb halott kis falunk temetőjében, ha ezután a zseniális felfedezés után megüt a guta az izgalomtól... Vagyis kímélne. Ezért voltam kénytelen egy rokonra hagyatkozni, hogy végezze el a feladatot, ami a neten való megjelenéshez kellett volna, de természetesen nem tette meg azt, amit vállalt így én sem tudtam a beigért anyagot feltenni a fórumra.

Az anyagok ennél a rokonnál vannak, és nem kaptam vissza. Kénytelen voltam fél megoldásként rekonstruálni a régi rajzomat. Több kevesebb sikerrel tettem ezt. A lányeg azonban látszik. A digitális fotó nem tudta helyettesíteni a fénymásolást, és a szkennelést, ezért a térképet nem sokra lehet így használni, de a lényeg a rajzon meg van.

Lehet nekilátni, és bebizonyitani nekem, hogy a semmit találtam meg. Az bizonyos, hogy vannak bizonyos logikus lépések, amit ha követünk, akkor ez az ábra jön ki. Ha nincs is igazam, azt azért ugye majd megengeditek neke, hogy elmondjam: túl sok véletn egybeesés van ezen a térképen.

Vegyük sorba. A két csúcs között úgy lehet egyenest rajzolni, hogy az öt darab lovagvár közül kettő az egyenesre kerül. A Keresztvár - Feketehalom távolsággal - Keresztvár - középponttal kell körívet rajzolni a térképre. Érdekesség, hogy a Keresztvár - Feketehalom távolság azonos a Keresztvár - Höltövény távolsággal.

Nem tudom megmagyarázni, hogy a térképre rajzolódó ábrán mi miért van úgy, ahogy, de az bizonyos, hogy szokatlan dolgok esnek meg a grafikán. Túl sok véletlen dolog van rajta, én én nem minden esetben tudok ésszerű magyarázatot találni.

Sok furcsaságot, apró részletet fedeztem fel, ami most eszembe se jut, de ha lesz kivel vitatkozni, lesz kinek elmondani, akkor biztosan sok meglepő apróságra tudom majd felhivni a figyelmeteket. Ennek bizonyítására felteszek egy másik grafikát, hogy lássátom, mennyi mindent elrejtettek az öregek erre a területre... Ez a grafika senkit se zavarjon az eredeti matematikai probléma vizsgálata során...

Eddig írtam ma délelött. Az alábbi sorokat a várakozás napjai alatt írtam. akkor fontosnak éreztem azt, hogy leírjam, ezért most változtatás nélkül bemásolom... Most már mindegy, hogy miért fogtok szilánkokra szaggatni....

Következzék most az igazi szentségtörés.

Mi a helyzet akkor, ha azt feltételezzük, hogy az elődeink nem olyan beosztású szögmérőt használtak, mint a most használatosak? Ezt tehették több okból is. Például:

- nem akartak megoldhatatlan feladatokhoz képleteket gyártani? - a feladatot végző mesterek olyan országból jöttek, ahol ilyen eszközök voltak használatban. - tudták, hogy a szokásos eszközökkel a feladat megoldhatatlan, ezért az eszközöket igazitották a feladathoz. Leht, hogy ez volt a szokásuk minden megoldhatatlan matematikai probléma eseten.

Mi a helyzet akkor, ha ezek az emberek tudták, hogy a tizenegyszög szerkesztése a 360 fokos beosztású szögmérővel nem oldható meg, de ha 440 fokos beosztású szögmérőt használnak, akkor a feladat megoldhatóvá válik. Ennek a felismerésnek az eredménye látható a térképen. ( Meg van oldva a maradék nélküli osztás, mérés nélkül, csak körző, és egyenes vonalzó használatával. Ehhez nem kellett az ördöggel cimborálniuk, csak használni kellett az eszüket.)

Joggal vetődik fel a kérdés: Biztos, hogy nem a régi matematikusoknak volt igazuk? Miért ne feltételezhetnénk, hogy volt annyi eszük az öregeknek, hogy minden megoldhatatlan feladatot igy oldottak meg? Lehet, hogy ezek az emberek nem vadásztak ágyúval verébre?

Miért jobb, és egyszerübb megoldás olyan matematatikai tételeket gyártani, hogy egy adott feladat nem oldható meg, ha elegendő csak a felhasznált eszközöket megváltoztatni, vagy mindig az adott feladathoz igazitani. Az nem olyan abszurd ötlet, mint a gótika gyökereinek kutatása....

Biztos, hogy Gauss-nak van igaza mindenben? Nekem volt egy barátom, aki azt vallotta, hogy egy bizonyos témával foglalkozva, egy idő után az emberben kialakul egy bizonyos csőlátás, és mindent csak ezen keresztül képes látni. Mi van akkor, ha a matematika is igy járt?

Amikor néhány nappal ezelőtt leirtam e szentségtörő sorokat, szinte hallottam lelki füleimmel az átkokat, melyeket rám szórtatok, amiért ezzel az őrült témával teljesen feldúltam a topikotok békés hétköznapjait. A fent leirtakat természetesen akkor nem tettem fel a fórumra, hiszen akkor még az ábra, és a térkép sem volt feltéve, de én már előre védekeztem a támadások ellen. Próbáltam védeni a mundér becsületét. Most, amikor e sorokat irom, még nem tudom, hogy mekkora vihart fog kavarni köztetek az ábra megismerése, tehát most a valóságban a semmi ellen hadakozom. Ettől függetlenül engem is izgalomba hozott ez az őrült feltételezés, és elkezdtem keresgélni a neten.

Ime egy idézet a netről: " Franciaországban a forradalom és az első császárság alatt a derékszöget és a quadranst 100 fokra, a fokotot 100 percre s a percet 100 másodpercre osztották. A restauráció alatt azonban e felosztással felhagytak. "

A kérdéses hivatkozás: http://www.kislexikon.hu/index.php ( Kereső szó az oldalon: szögmérő, keresés a Tartalomban ! )

Én nem erre a tényre gondoltam, mivel fogalmam sem volt arról, hogy élt e valaha a Földön egy olyan bolond, akinek eszébe jutott az, hogy a kört nem csak 360 fokra lehet, vagy érdemes felosztani. Nem erre gondoltam, de lám, nem olyan abszurd az elképzelés. Valakinek valamikor eszébejutott más utat választani. Mi van akkor, ha sok évszázaddal ezelőtt be vett szokás volt a kört nem 360 fokra felosztani, vagy több féle felosztási megoldás is használatban volt egyszerre. A franciák nem 440 fokra osztották fel a kört, de ez

Az mindenesetre biztos, hogy a 440 fokra felosztott körben játszi könnyedséggel, maradék nélkül megszerkeszthető a tizenegyszög, és ettől még nem feltétlenül omlik össze a matematika, de talán érdemes lenne néhány megoldhatatlannak látszó problémát újra gondolni.

Egy további apróság. Az egyik oldalon ezt olvastam: A kör 360 fokos beosztása ugyancsak babiloni eredetű. Ez azt is jelentheti, hogy a babiloni eredetű osztás elött, mellett létezett, létezhetett másik osztás is. A szöveg az alábbi cimen olvasható: http://indy.poliod.hu/modulok/egyeb/TA049

Hát ennyi lenne vita indítónak....

Mivel szögmérőt nem lehet használni, ezért édesmindegy, hogy a teljesszög 23, 257, 360 vagy 440 fokra van-e osztva, a szerkeszthetőség ténye nem változik meg ettől, úgyhogy ha ez lenne a "nagy" ötlet, akkor nagyon csalódott lennék.

Viszont mindenféle nézetkülönbség ellenére szeretnék jobbulást kívánni.

A kép feltöltésével küzdök. Több is van ebben a dologban... A jó kívánságot köszönöm....jól esett...

Kedves Mediator!

Csodálom a naivitásodat, és bevallom némileg szórakoztat is. Ahogy Te fogalmaztál,"fel voltál mentve" matematikából, ez azonban nem gátol meg abban, hogy ebben a matematikai problémában valami hihetetlen magabiztos módon foglalj állást olyan, matematikából nem éppen "felmentettek" kategóriába tartozó tudósokkal szemben, mint Gauss, Lagrange, Abel, Galois. Távolról sem akarlak megsérteni, de nem gondolod, hogy kevéssé valószínű, hogy ezek az emberek mind tévedtek, Te pedig rátaláltál volna az igazi megoldásra? Természetesen előfordult már hasonló a tudomány történetben (pl. Bólyai János vagy Einstein esetében), de ott az adott terület gyökereinek (alapfogalmainak, axiómáinak) újra értelmezéséhez kellett visszanyúlni. Mivel a Te esetedben feltehetőleg nem erről van szó, engedd meg, hogy néhány pontban felhívjam a figyelmedet tévedéseidre:

1. A matematikában a geometriai szerkesztés a beosztás nélküli egyenes vonalzó, és a körző használatával történik. Így pl. nem engednek meg beosztott vonalzó, akármilyen módon beosztott szögmérő, segédgörbék, mindenféle trükkös mechanikai eszközök, stb. használatát.

2. A szerkesztés elvileg tökéletes pontossággal történik, vagyis akkor mondanak egy alakzatot szerkeszthetőnek, ha a megengedett eszközöket az adott eljárásban (elvileg) teljesen pontosan használva, az eredmény is teljesen pontos lesz.

3. Az ilyen értelemben vett szerkeszthetőségnek sokkal inkább elvi, mint gyakorlati jelentősége van, hiszen közelítő eszközök (pl. szögmérő) használatával gyakorlatilag pontosabb eredmény kapható. Igazad van, hogy egy "megfelelően beosztott" szögmérővel kielégítő pontossággal szerkeszthető pl. szabályos 11 szög, de az idézett matematikusok azt állították, hogy az első pont szerinti szerkesztéssel elvileg sem lehet teljes pontossággal megszerkeszteni(szemben pl. az 5 ill. 17 szöggel). Másrészt gondolj arra, hogy a szögmérő egy gyakorlati eszköz, amelyet

...szintén közelítő eljárással osztottak be több-kevesebb pontossággal, olyanra amilyenre. Vagyis a szögmérő beosztása ugyanazt a problémát jelenti, mint amit segítségével megoldani kívánsz.

Végül elnézést kérek, ha kicsit erősen fogalmaztam, nem akartalak megbántani. Én is jobbulást és kitartó munkát kívánok. Természetesen továbbra is nagy érdeklődéssel fogadjuk a téma történelmi hátterének megvilágítását, és a korabeli földmérők szakmai tudásának bemutatását.

Se sértődés, se harag nincs. Ezt tudnod kell...Én nem matematikai feladványként rontottam neki a barcasági lovagvárak rejtélyének megfejtésének. Történelmi problémaként kezeltem az ügyet, és amikor a körző és vonalzó ezt az ábrát mutatta, magam is elcsodálkoztam, és azt hittem, véletlen. Benneteket, matematikusokat a "mese" nem érdekel, de amikor beleszúrod a térképen a körződ hegyét az egyik vár ikonjába, és kiderül, hogy ettől a ponttól is, attól a ponttól is ugyan akkora távolsága van egy adott pont, akkor elkezdesz gondolkodni, hogy vajon ez véletlenül van így, vagy valaki azt akarta, hogy ez így legyen. A pontosság, meg a vonalzó mondod Te. Én meg azt mondom, hogy van két hegycsúcs. Ezeket összekötve egy egyenessel érdekes dolognak lehetünk szemtanúi. Pont azt a két várat metszi az egyenes, amit tudottan a lovagok építettek. Azt is mondhatnánk, hogy ezzel a vonallal lett a helyzetük kijelölve.

Erre mondják, hogy abban a korban nem volt meg a technika a pontos hely meghatározásra, mérésre. Ez biztosan így lehetett? Biztosak lehetünk ebben? Gyerünk tovább a körzővel. Ha a hegyét Keresztvár várába szúrjuk, akkor nyithatjuk a körző nyílását, de meddig? Mondjuk Höltövényig? Azt a várat is a lovagok építették állítólag, egyes emberek véleménye szerint. Ez még önmagában nem baj, de érdekes, hogy ugyan ez a méretű körző nyílás pontosan megegyezik a Keresztvár - Feketehalom távolsággal. Azzal a váréval, amelynek építőjeként minden történész a német lovagokat jelöli meg. Talán ez az egyik legbiztosabb pont a lovagvárak homályában. Szóval még egy véletlen.

Csak nézem a térképet, és csodálkozom. A Brassó - Prázsmár távolság megegyezik a Keresztvár - Barcaszentpéter távolsággal, és ez még nem minden. Ezzel a körző nyílással ezeknek a pontoknak a segítségével egy olyan függőleges egyenes szerkeszthető a csúcsainkat összekötő vízszintes egyenesre, amely függőleges tengelyen három vár helyzete jelölődik ki. Ez már bizonyosan nem lehet véletlen. Ennyi véletlen egy pakliban nem lehet A három vár egyike Földvár, amely vár köztudottan a Német Lovagrend központi vára volt. A másik két vár Apáca, és a barcaszentpéteri un. Tatárvár. Ezzel én még mindig semmit nem állítottam, csupán kérdezek. Azt kérdezem, hogy tényleg nincs valamilyen matematikai probléma elrejtve ebben a térképben?

Vissza az eredeti tizenegy szög problémájához. Nem az a kérdés, hogy van e szögmérő, van e osztás a vonalzón, hanem az, hogy adva van a világban egy pont. A brassói vár helyzete. Ez a vár egy képzeletbeli egyenesen van, amit két hegycsúcs között rajzolunk meg elméletileg. E vár helyzete igen érdekes. Az általam rajzolt grafikán, leszámítva a pontatlanságot, az látszik, hogy a Keresztvár központú nagy kör, és a vízszintes egyenesünk metszés pontja pontosan a Codlea - Höltövény távolság fele, vagyis az egy tizenegyed résszel megegyező távolság fele. Ha az ábra szerint megszerkesztünk egy kört e köré a pont köré, akkor láthatjuk, hogy a körcikk befogója(?) és a vízszintes egyenes metszéspontja azonos távolságra van Feketehalomtól is és Brassótól is. Ez eléggé zavaros, de így van.

Ez a csoda csak akkor látszik, ha előtted van a térkép. Lehet, hogy én nem vagyok egy matematikai zseni, és Gaussnak mindenképpen igaza lehet, de ez akkor is elgondolkodtató. Ezeknek a pontoknak a helyzete, egymástól való távolsága, ezeknek a távolságoknak az összefüggései mindenképpen elgondolkodtatják az embert. Tényleg létezik ilyen véletlen? Vajon van e a világon még egy ilyen hely, ahol ez a pontatlanul megrajzolt ábra a térképre rajzolható lenne.

Nem tudom, nem értem, hogy a matematikus elmét az ilyen kérdések felvetődése miért nem arra készteti, hogy tovább kérdezzen, hogy lehetséges ez. Ebben a kezdetleges rajzban ott van a logikus lépések sorozata. Végy két pontot. Kösd össze egy egyenessel. Rajzolj az adott középponttal egy adott pontig mért távolsággal egy kört, és ha ezzel meg vagy, akkor nézd meg mit tettél. Mit látsz? Egy kört, ami fel van osztva 11 azonos méretű körcikkre. A méreteket adja az adott objektumok egymáshoz mért távolsága. Mérés nélkül.

Igaz, hogy számtanból fel voltam mentve, de annyi eszem mindig volt, hogy a KÉRDÉSEK izgassanak, és a szándék meg volt bennem arra, hogy a válaszokat meg keressem. Most is ezt teszem.

Természetesen nem a várak elhelyezkedésére vonatkozó megfigyeléseidet vontam kétségbe. Bár a leírásod alapján nem követtem a kirajzolódó geometriai ábrát, egyáltalán nem lehetetlen, hogy az egész elrendezésben szándékosság fedezhető fel. Sőt az sem lehetetlen, hogy a korabeli földmérők ismertek egyfajta közelítő eljárást szabályos 11 szög szerkesztésére, és ezt alkalmazták. Azon is el lehet csodálkozni, hogy a gyakorlatban hogy tudták ezt ilyen pontossággal megoldani. Azonban úgy érzem, te ebből túl messzemenő következtetéseket vontál le, és ez alapján kérdőjelezted meg a 19. századi matematika történetének eme fontos fejezetét. Összefoglalva: nagyon érdekes az általad tett történelmi-geográfiai felfedezés, de egyáltalán nem mond ellent a szabályos 11 szög matematikailag igazolt, matematikai értelemben vett szerkeszthetetlenségének. Amit te ennek cáfolataként látsz, az a meglepő,de bizonyosan nem tökéletes pontosság, amellyel a térképeden a 11 szög kirajzolódik. Innentől kezdve azt hiszem megegyezhetünk abban, hogy a problémád nem matematikai természetű, hanem történelmi, földrajzi, földmérési, vallási,stb., amitől persze még rendkívül érdekes, de a helyén kezelendő.

Támogatom Attilát. A régiek szerettek sokszögeket "elrejteni" -bár ki tudja, mennyire is rejtették el- épületeikben. Legyen ez 7, vagy 11 szög, a lényeg az, hogy attól, hogy az adott dolgoknak az elrendezése egy szabályos 11 szöget hoz ki, az még nem jelenti hogy ténylegesen szabályos. Viszont elgondolkodtató, hogy miért is pont ez az alakzat. Én inkább annak járnék utána hogy a többi csúcspontban mi lehet :-)

Kedves Attila! Lapozz vissza az első bejegyzésre. Én nem, nem én állítottam a matematika eddigi eredményeinek megtorpedózását. Én csak kérdeztem.....Azt viszont még most is vallom, hogy bárhogyan is van, de a kirajzolódott ábra lehet PONTOS. Nem értem igazán, miért mondjátok Ti matematikusok, hogy az ábra nem pontos. A probléma az, hogy utánna sem mértetek, utánna se számoltatok, és mégis tudjátok, hogy az ábra nem lehet pontos.

Mindannyian feltételezitek , hogy a kör felosztása semmiképpen sem lehet pontos, mert maradéknak,- Gauss szerint - lennie kell. Én hivatkoztam a más féle körosztásra ( pl 440 fok ) de azt mondtátok, hogy ez mellékes. Mi van akkor, ha a várak helyzete, az egymástól való távolsága adja a megoldást. A várak helyzete lehet a kulcs.

Vegyük át mégegyszer, előlről. Adva van két pont. Hogy miért pont ez a két pont lett kiválasztva, hogyan lehetséges az, hogy e két távoli, természetes pont hogyan adhatta éppen azt a helyzetet amire az építőknek szüksége volt, ez számomra is megmagyarázhatatlan rejtély marad, de tény az, hogy e két hegycsúcs lett a lehetséges kiindulási pont. Az, hogy a két vár miért arra helyre lett építve, ahol éppen állnak, csak egyetlen magyarázat lehet. Oda kellett kerülniük a szerkesztés miatt. Így adták meg a szükséges méreteket. Próbáljatok meg az eredménytől visszafelé gondolkodva tekinteni a témára.

A nagy kör megrajzolásához a keresztvári vár helyzete lett a középpont. A körző nyílástávolsága két pontra is illeszthető, de vegyük mondjuk Feketehalom várát. E várnak a lovagrendi várak között fontos szerepe volt, és nem vita tárgya a történészek között az, hogy ezt a várat ki építette. Ez a vár a lovagrendnek van tulajdonítva. Érdekesnek mondható, hogy e vár a középponttól ugyan olyan távolságra van, mint a höltövényi vár. Nézem a rajzomat a fórumon, és látom, hogy nem ad Nektek elég információt. Én tudom, hogy melyik pont milyen várat takar, de Nektek e kép azt hiszem semmit nem mond. Azt sem tudhatjátok, hogy melyik vár melyik. Kellene egy jó térkép Nektek is.)

Csak egy megjegyzés: Azt a kérdést, hogy a többi csúcspontban mi lehet, már én is feltettem magamnak. Ha a matematika segítségével bizonyítani lehetne, hogy a várak helyzete tudatosságot rejt, akkor talán nekem is hinnem kellene amit román kincsvadászok állítanak, hogy van mit keresni a térkép mögött.

Átvéve a gondolatod: Innentől kezdve azt hiszem megegyezünk abban, hogy a probléma nem matematikai természetű, hanem történelmi, földrajzi, földmérési, vallási,stb., probléma.

Kedves Mediátor!

Hagyjuk a távolságokat és pontosságokat, mert az arról szóló vita nem visz előre. Az említetted helyeket felrajzoltam az erdélyi térképem fénymásolatára és semmi érdekes nem jött ki. Másrészről ami egy 1:350.000 léptékű térképen 1 mm, az a valóságban 350 méter, és nem 1 mm az eltérés.

De az, amit a már korábban említett váras honlaphely Keresztvár-Kreutzburg-Teliu helyiségről ír, érdekes lehet:

"A község német elnevezése (Kreuzburg) korábban sokáig annak a téves feltételezésnek adott alapot, hogy a település melletti vármaradványok azonosak a német lovagrend által épített, oklevélben is említett Kreuzburg nevű erősséggel. A 19. század számos szakírója, többek között Orbán B., Kőváry L. is így gondolta ezt. A Nagy-Várhegyen és a vele szemközti hegytetőn álló Kis-Várhegyen épült vár azonban nem tulajdonítható a kereszteseknek, hanem korábbi időből származik. A lovagrend által 1212-ben emelt Keresztvár erődítményét a magyar és erdélyi szász kutatók (Győrffy Gy., Pósán L., W. Horvath, K. Horedt, E. Jekelius, stb.) a Bodzavám (Vama Buzãului) falutól D-re, 30 km-re, a Tatárhágón álló rommal azonosították, melyet támogat a romnak Marienburggal egyező alaprajza és az 1222-i határleírás, mely a keresztesek havasalföldi területének K-i oldalát Kreuzburgtól vezeti le a Brodnikok földje felé." ...

Az említett váras honlapot végigbogarászva az öt lovagrendi vár (szerintük):

(Barca)földvár - Marienburg

Bodzavám - Kreuzburg

Feketehalom - Zeiden

Höltövény - Krissbach

Barcaszentpéter - Petersburg

Ezek közül többnek, de több más településnek van erődített temploma is, mint például Prázsmár, Szászhermány, Szászfehéregyháza, ...

Én sem azt állítottam, hogy (hited szerint) megtorpedóztad volna a matematika erre vonatkozó eredményeit. Ha jól értelmezem, legalábbis kétségbe vontad, én pedig a kétségeidre, kérdéseidre próbáltam válaszolni. Ami egy ábra pontosságát illeti: egy valóban megrajzolt ábra sohasem lehet pontos. Lehet kielégítően pontos, mérési határon belül pontos, de nem állíthatod, hogy pl. az általad mért szakasz pontosan 10 cm hosszúságú. Nyilvánvalóan a szerkesztésekhez használt eszközök, és az ellenőrző mérések is korlátozott pontosságúak. Ha egy mérésből olyan eredmény adódik, amely (bizonyos hibahatáron belül) megerősíti az adott feltevésünket, érdemes megpróbálkozni a feltevés elvi igazolásával is. Azonban akárhány mérés sem fogadható el a feltevés elvi igazolásaként, lévén minden mérés szükségszerűen pontatlan. Tehát az a felvetésed, hogy nem mértünk utána, ezzel elintézettnek tekinthető. Ami az utána számolást illeti: megtették ezt helyettünk (nem kis fáradság árán) a már említett matematikusok. Itt a fórumon gondolom vagyunk néhányan, akik az ő munkáikat olvasták és megértették, ezért nem szükséges magunknak újra utána számolni. Én a magam részéről bizton állíthatom, hogy erre nem is volnék képes, de gondolom a fórumtársak egy része szintén így van ezzel. Nem tekintély alapon fogadjuk el az ő eredményeiket, hanem megértve az okfejtéseiket, állítjuk hogy szabályos 11 szög szerkesztése körzővel és vonalzóval semmilyen módon nem lehetséges. A szögmérővel kapcsolatos felvetésedre már válaszoltam, miszerint a szömérő megfelelő teljesen pontos beosztása ugyanaz a probléma, mint az eredeti. A térkép pontosságával kapcsolatban még egy észrevétel: a térképedet nyilván a sík asztallapra terítetted ki, és azon végezted a méréseket. Holott köztudott, hogy a földfelszín nem sík, ezért a síkba terítése szükségképpen pontatlan.

De ha esetleg megpróbálnád leírni a véleményed szerint jó szerkesztés menetét, akkor meg tudnánk mondani, hogy a te szerkesztésedben konkrétan hol a hiba, és az mindenkit megnyugtatna.

Először is nagyon sértő azt mondani, hogy román kincsvadászok, ha jól emlékszem te egy erdélyi magyar weboldalra utalsz, nos tudnod kéne hogy erdélyben magyarok is élnek szép számmal-én is annak tartom magam:)-,talán meglep ez, de azért kiváncsi vagyok miért hitted hogy aki magyarul beszél, weboldalt szerkeszt azért hogy te is el tudd olvasni, az román.? Másodjára-repetitio est mater studiorum, ha már ennyire foglalkoztat a hovatartozás szólaltassunk meg egy holt nyelvet is:)-a matematikai szerkesztésnek semmi köze a szögmérő beosztásához.!!! Harmadszor: A Földön minden pont rajta van két nevezetes pontot összekötő "egyenesen"- geodetikus vonalon- gondoljunk csak a polusokra:)))) Remélem ez nem sértőbb mint az u.n. előzmények.

Én igazából azt nem értem, hogy mi bizonyítja, hogy ezt pontosan szerkesztették...? Ugyanis abból amit eddig olvastam, pont az derül ki, hogy rendben, van egy 11 szögünk, ezt senki nem vitatja, de az egy másik kérdés hogy mindezt szerkesztette-e valaki (itt szigorúan a körzős-vonalzós szerkesztést értem) vagy csak szögmérővel kimérte a távolságokat. Mert az ábra ezt nem mutatja.

Kedves Csagi! Kösz a józan hangot. A kérdésedre valóban nem tudom a választ, és tulajdonképpen azt reméltem, hogy erre a kérdésre kapok majd választ. A hasonló témakörbe tartozó olvasmányaim szerint valószinüsíthető, hogy méréssel állunk szemben. Azt még mindig hiszem, gondolom, hogy tudatos tervezéssel állunk szemben. Más térkép részeken, a horvátországi templomos várak területén, vagy a Német Lovagrend által más országokban épített objektumok nem mutatnak ilyen alakzatokat.

Cckeknek! Kénytelen vagyok azt mondani, amit korábban is leírtam: román fiatalok által....stb. Ebben érzésem szerint nincs semmi sértő. Ennél finomabban megfogalmazni a lényeget, azt hiszem nem nagyon lehetne. Ezt az oldalt tényleg román fiatalok működtetik. Annyira román az oldal, hogy magyar nyelvű felülete, még opcióként sincs.

Egyébként, ami az érzékenységed illeti, az én Anyám is ott született, és valami ilyen módon engem is oda köt. Egyébként nem értem miért ez a bősz kirohanás a hovatartozás miatt. Sok marhaságot leírtam, de hol itt a sovinizmus?

Kedves Hajba Károly! Igazad van. Csak a Freytag-Brendt három nyelvű 1:400.000 ERDÉLY autótérképe tudja ezt csodát produkálni. Ezt is leírtam korábban. Azt is, hogy ezek az emberek vagy nagyon tudnak térképet rajzolni, vagy véletlenek sorozatával állunk szemben. Ha ezen a térképen próbálsz rajzolni, akkor Te is csodálkozni fogsz. A rajzolás lépéseit leírhatnám, de akkor elvenném Tőled a felfedezés örömét.

Felsorolod a várakat. Nincs vita. Bárki mondhat bármit, mert bizonyítani, dokumentumokkal, semmit nem lehet. Feltételezések vannak, és a honlapokon található leírásokból azt fogadhatjuk el igaznak, amit éppen elolvasunk. A Te felsorolásod nem mond ellent az általam felsoroltaknak. Ha több, vagy kevesebb várat említek, csak azt jelenti, hogy a kérdésekre nem tudom a választ. A prázsmári vártemplomot kivéve, egyetlen más helységben lévő vártemplomot nem tulajdonítanak a lovagrendnek. Csak várakat építettek, állítólag.

Kreutburg várának ügyében határozottan állást foglalsz. Elfogadod azt a vélekedést, ami a Tatár hágónál lévő várat fogadja el az "igazi" Keresztvárnak. Ezzel a vélekedéssel lehetne vitatkozni, de semmi értelme, mert ez a vita tényleg sehova nem vezet. Dokumentum nem maradt sem pro, sem kontra.

Kedves ScarMan! Már többször leírtam a lépéseket. Megrajzoljuk az egyenes a két csúcs között. A keresztvári vár ikonja a kör középpontja. Ezzel a középponttal rajzolunk kört, aminek a sugara a Keresztvár-Feketehalom távolság. A megrajzolt kör metszi Feketehalom, és Höltövény várának ikonjait. Ha lemérjük a Feketehalom - Höltövény távolságot, és ezzel a távolsággal végig jelüljük a körívet, akkor a kör 11 egyenlő részre osztódik.

Ennél többet mondani nem tudok. Pontos, nem pontos? Döntsétek el. Azt nem értem, hogy ebben a "szerkesztésben" hol a hiba.

Az én térképem Nyír-Karta & Topográf 3 nyelvű Erdély autóstérkép 1:475.000 léptékkel. Távolságok mm-ben, F - Földvár, Ny - Nyén-Keresztvár, H - Höltövény, H - Feketehalom, P - Prázsmár:

F-Ny:54; H-Ny:56; F-Ny:70; P-Ny:17; F-H:15; H-F:22

Hát ebből nekem nem jön ki szabályos 11 szög semmiféle részlete sem.

S a hiba az, hogy a térképről olvasás, nem matematikai szerkesztés, ebből nem lehet következtetni a helyek pontos koordinátájára. Attila mondta, de megerősítem, mivel van a családban geodéta, hogy a tényleges helyek nem egy síkon vannak, hanem egy képzeletbeli síkra vannak rávetítve. S ez más a régi történelmi Magyarország és más a mai Magyarország esetén is. Így a helyek nem változtak, de a térképi koordinátájuk 'torzul'. Így a geodéziai térképek sem alkalmasak egy matematikai bizonyításra.

Másrészt az autóstérképről történő leolvasásod sem pontos.

Harmadrészt egy matematikai bizonyítás éppen fordított sorrendű, mint gondolod. A logikai csapda ott van, hogy a szabályos sokszögnek tűnő ábra nem feltétlen szabályos, de a szabályosan szerkesztett valódi szabályos sokszög is szabályos sokszögnek tűnik. Anno biológiából tanultuk: 'Minden bogár rovar, de nem minden rovar bogár'.

De mindentől függetlenül leírhatnád, hogy Te melyik várakat gondolod lovagrendinek, hamár Györffynek nem hiszel.

Kedves Károly! Az utolsó kérdésre válaszolok először. Azt kellene látnod, amit én a helyszínen láttam. Talán az egyetlen konkrét fogódzó a "sötétben" az, ami a helyszínen látszik. Központ, középpont Földvár. Ha állsz a vár falon és elnézel az Olton túlra a nagy hegy felé, akkor kinyújtott szinte karod elérheti Teliu-ban a nagy várat. Ez lenne Keresztvár. A pillantásod fut jobbra a hegyen és szemben veled a brassói vár látszik, tőle kissé jobbra, lent Feketehalom. A medence jobb szélén látod Höltövény várát, és a bal kezednél a Tatár vár. Barcaszentpéteren. ( Fontos! Ez a vár nem azonos az erődtemplommal! )

A nagymester, vagy a várkapitány fáklyával, tükörrel morze üzenetet válthatott a kollégákkal. Ha hiszed, ha nem, mindez látótávolságon belül van!

Ha szeretnéd látni az ábrát a térképen, akkor az általam említett térképet szerezd meg. Kb. 1400.-ft a MOL kutaknál van(?) Csak azt tedd a munka során, amit a SCARMAN-nek írtam. Semmi mást nem mérj, ne keress más ábrát, mert van, de már említeni sem merem a fórumon, mert már így is kaptam eleget....

Kedves Mediator!

Figyelmedbe ajánlom a Mintentudás Egyetemének legutóbbi előadását, amelyet Laczkovich Miklós tartott. Ha jól sejtem, a témába vágó kérdésekkel is foglalkozott az előadó. Egyébként az előadást még én sem láttam, Laczkovich tanár urat viszont ismerem. Rendkívül jó órákat tartott valós függvénytanból, és van egy nagyon jó kis könyve is: Sejtés és bizonyítás. Mindenkinek ajánlom.

Lehet, hogy nem értem a szerkesztést, bonyolult így ábra nélkül, de nekem úgy tűnik, hogy felhasználsz benne olyan pontokat, amelyeket nem definiáltál (tehát nem definiáltad, hogy kapjuk meg az egyes váraknak megfelelő pontokat).

Le tudnád írni a szerkesztést úgy, hogy nem térképre szerkeszted? (és a pontokat az egyszerűbb követhetőség kedvéért az ABC betűi alapján nevezd el, hogy én is emgértsem, hogy a szerkesztés nem használja ki a térképet)

Kedves ScarMan! A 30. üzenő lapon találod meg a grafikát. Elég gyenge.Kimentetem -próbaképpen- az oldalról, de a képszerkesztőben nem ad elfogadható minőségét. Felteszem a fórumra újra. Kicsit igazítottam a betükön, hátha... Ha van a fórumban megadva a Te nevedhez e mail cím, akkor mellékletként elküldöm. Így biztosan kezelhető minőségű léped lesz, amit ha a gépedre mentesz, használni tudsz. Ez a rajz egyébként a térképről-pausszal vett- másolat. Megfelel a térkép méretezésének.

A pontok: jobbról balra. Lakócs csúcs- Keresztvár-Brassó-Pásztor csúcs. Ez a 4 pont van a vízszintes (?) tengelyen. A köríven két pont van. Feketehalom és Höltövény. Több pontnak ( várnak ) a szerkeszthetőség szempontjából nincs jelentősége. Ez a hat pont adja az ábrát.

A kép nem ment át. Küldöm e mail-ben.

Kedves ScarMan! Válaszoltam Neked, és remélem a kép is használható minőségben ment át e mail-ben, de így utólag újra olvasva a hozzászólásodat, félek, én sem értettem meg, hogy Te mit kértél tőlem.

Ezt írod zárójelben: tehát nem definiáltad, hogy kapjuk meg az egyes váraknak megfelelő pontokat. Én azt nem tudom megmondani, hogy a két hegycsúcs között rajzolt egyenesen miért azon a ponton van pl. Keresztvár ikonja. Egyetlen magyarázat van csak. A térkép készítője szerint azon a ponton található a várrom. Hogy miért pont arra helyre, azt nem tudtam megmagyarázni soha sem. Erről már írtam a Hajba Károlynak szóló válaszomban. Remélni tudom csak, hogy azért oda rajzolták az ikont a térkép készítői, mert a valóságban is ott van a várrom. A mai korban ez nem lehet olyan szokatlan. Megvannak a megfelelő eszközeik.

Most nagyon finoman kell fogalmaznom, nehogy bántásnak érezd.... Ha nem a " térképre rajzolsz ", akkor a dolognak semmi értelme. Méréssel nem adhatom meg a pontokat. A dilemmám lényege ez. Fatális véletlen, hogy a települések egymástól való távolsága, az objektumok helyzete adja, adhatja e meg egy ilyen grafika megrajzolásának lehetőségét? Szóval érted? Nem tudom ezt a dolgot megmondani csak azt tudom, hogy pl. a Feketehalom - Höltövény távolságának fele, azonos a Brassó - Feketehalom távolsággal. Azt tudom csak mondani, hogy a kör középpontja az az ikon legyen, ami Keresztvár település neve mellett van a térképen, és ha ez a pont lesz a megrajzolt kör középpontja, akkor a rádiusz a Keresztvár várának ( ikonja ) és Feketehalom várának ikonja közötti távolság legyen. Ebben az egészben ez az őrjítő, és nem az, hogy én megakarom tanítani számolni a matematikusokat.

Remélem, hogy sem Téged, sem másokat nem bántottam meg?

Megkaptam e-mailen az ábrát, és sikerült is megértenem a szerkesztésed menetét. Ez az ábra tényleg érdekes, de nem ad módszert a 11-szög szerkesztésére, csupán annyit bizonyít (ha feltesszük, hogy a térkép tökéletesen pontos), hogy a várak által meghatározott pontok segítségével rajzolható egy szabályos 11-szög. A matematikai szerkesztésben azonban nincsenek előre adott, speciális helyzetű pontok - ezeket is szerkeszteni kell. Azon pontok, amelyek a térképen adottak, valójában nem szerkeszthetők, csak nagy pontossággal kimérhetők.

Én úgy érzem viszont, hogy ez számodra nem baj, mert te nem egy matematikai, hanem egy törétnelmi tényt próbálsz igazolni. Az, hogy ezek a várak meghatároznak egy szabályos tizenegyszöget (valamekkora pontatlansággal), még mindenképpen lehetséges attól függetlenül, hogy a tizenegyszög matematikailag nem szerkeszthető, ugyanis ettől még tudthattak nagyon pontos rajzot tudtak készíteni róla, és a valóságban ilyen helyzetbe építeni a várakat. Valószínűleg a matematikailag szerkeszthető ötszöget sem lehet a gyakorlatban pontosabban megépíteni, mint egy tizenegyszöget.

Kedes ScarMan! Köszönöm amit írtál. Most én kérek segítséget. Ha hajlandó lennél, akkor szerkesszünk együtt, szabályosan. Én mindig megkérdezem Tőled, hogy mit rajzolhatok a szabályoknak megfelelően, és ha Te azt modod, hogy az adott lépés megfelel a szabályos szerkesztés feltételeinek, akkor meglépjük a lépést.

Kezdet: Veszünk egy üres lapot. Van egy körzőnk, egy vonalzónk, és egy ceruza. Feadat: Az üres papírra szeretnék rajzolni egy egyenest. Kérdés: Ezt hogyan tehetem meg? Ki, vagy milyen körülmény, feltétel dönti el, vagy határozza meg, hogy hol kezdődik az a bizonyos vonal, meddig tart, és milyen hosszú lehet?

Ha mindezen kérdésre választ adsz, akkor rajzolunk majd egy egyenest.

Alapozáshoz ajánlom Euklidész 1. könyvét , azon belül is különösen a posztulátumokat, ezek írják le, hogy hogyan lehet szerkeszteni. És nem kell a méret miatt aggódni, most csak az elejére van szükségünk.

Amúgy hogy kell szerkesztheteni egy megszerkeszthető szabályos sokszöget? Gondolom akkor szerkeszthető meg egy sokszög, ha az algebrai szám.

kiszámítására van képlet? Nyilván így elég sok "nevezetes" szög szinuszának az értéke megmondható. Csak n=5-re ismerek szép számítást, de nem tudom elképzelni, hogy a többi hogy számolható.

Az szükséges, hogy a szerkesztendő mennyiség algebrai legyen, de sajnos nem elégséges. Pl. sem szerkeszthető, holott algebrai. Szabályos sokszögekből a 2^k, 2²ⁿ+1, ha ez prím, illetve ezek szorzata oldalszámú szabályos sokszögek szerkeszthetők. A legkisebb kevésbé közismert ilyen sokszög 17 oldalú. Hogy ezek hogy szerkeszthetők, arra persze általános módszer nincs, minden esetben egyedi. A 17 szög szerkesztése is elég körülményes, de gyakorlati jelentősége nincs is. Egyébként Gauss 19 éves korában oldotta meg a 17 szög szerkeszthetőségét.

mindig algebrai, ha n racionális és nem 0.

Tényleg. Egészekre nagyon egyszerű belátni Euler-formulával. (Még csak most kezdtem el próbálgatni a komplex számokat)

A szabályos tizenhétszög szerkesztése triviális lesz, ha már tudjuk cos (/17) és sin (/17) értékét, csak négyzetgyökökkel kifejezve. Ezt viszont már említettem itt a fórumon.

Valóban, de ebben nincs semmi meglepő, ha belegondolsz, hogy az xⁿ-1 polinom gyökeinek képzetes részéről van szó.

A dolog a következőképpen megy - vázlatosan. Némi meggondolás után arra a következtetésre juthatunk, hogy igazából nem pontok és távolságok, hanem számok szerkesztése a kérdéses.

Legyen adott egy a valós szám, az a kérdés, hogy szerkeszthető-e a következő kiindulási feltételekkel: adott a (0,0) és az (1,0); továbbá egy körző és egy egy élű, beosztás nélküli vonalzó. Ezek után tetszőlegesen bűvészkedhetünk a síkon, amit R²-el, azaz a valós számpárokkal azonosítunk, ez az általános iskolából is jól ismert, Descartes-ról elnevezett koordinátarendszer. Egy a szám megszerkeszthető, ha (a,0) megszerkeszthető.

A szerkesztés valójában nem más, mint egy elsőfokú avagy másodfokú egyenlet megoldása, előbbi a vonalzó, utóbbi a körző használata esetén (HF: tessék kiszámolni, ahogyan koordináta-geometriából tanuljátok!). Ez a lényegi gondolat, mellyel láthatjuk, hogy a megszerkeszthető számok egy - a matematika nyelvén - könnyen leírható struktúrát alkotnak. Ha észrevesszük azt is, hogy minden első- és másodfokú egyenlet valóban megoldható, akkor a következőt kapjuk: a szerkeszthető számok egy testet (HF: megnézni, mi az a test!) alkotnak, ami a négyzetgyökvonásra zárt.

Képzeljünk el egy jól ismert testet, legyen az a Q, a racionális számok testje. Ez például nem zárt a négyzetgyökvonásra, mert például az x²-2 másodfokú polinomnak nincs benne gyöke. Ha azonban hozzávesszük a -t (és persze minden alakú számot, ahol q,r racionálisak, hogy test legyen újra), akkor már az x²-2 gyökei benne vannak. Mivel egy másodfokú polinom egy gyökét vettük hozzá, ezért ezt úgy hívjuk, hogy az eredeti test egy másodfokú bővítése.

A szerkeszthető számok testjének nincs ilyen másodfokú bővítése.

Tegyünk egy kis kitérőt a déloszi probléma felé. A kérdés az, hogy az x³-2 polinom gyökei szerkeszthetők-e. Ez a polinom harmadfokú, és nem is bomlik fel másod- és elsőfokúak szorzatára, így nem lehet a -t szerkesztési lépésekkel megszerezni, tekintve hogy azok mindig első- és másodfokú egyenleteket oldanak meg.

Hogy a teljes és pontos választ megkapjuk, még egy fogalmat kell bevezetnünk. Egy szám minimálpolinomjának azt a polinomot hívjuk, aminek a foka a lehető legkisebb, és aminek gyöke az adott szám. Például a racionális számtest felett a minimálpolinomja x²-2. Illetve még egy fogalom. Egy polinom felbontási testje pedig az a test, amit akkor kapunk, ha a testhez a polinom összes gyökét hozzávesszük. Másodfokú esetben egyszerre kerül be a két gyök, de gondoljatok bele, hogy például x³-2 esetében ha csak a valós gyököt tesszük a racionális számok közé, az nem generálja a komplex gyökeit. Tehát ott újabb bővítéseket kell tenni, hogy az egész felbontási test előálljon.

Tétel. Egy szám pontosan akkor szerkeszthető, ha a racionális test feletti minimálpolinomjának felbontási testjének a racionális test feletti foka 2-hatvány.

Ennek segítségével már be lehet bizonyítani - de még ezen a ponton sem olcsó - hogy pontosan azok a szabályos sokszögek szerkeszthetők, amiket írtatok, mármint a Gauss-ra hivatkozók. A 11-gyel pedig az van, hogy a kérdéses minimálpolinom foka 10, így a felbontási test foka is osztható 5-tel, következésképp 2-hatvány nem lehet. Tehát a szabályos 11-szög nem szerkeszthető.

(Ez azoknak szólt, akik kíváncsiak Gauss híres tételének hátterére...)

Lehet kérdezni, szívesen válaszolok, részletekkel is...

A probléma a következő. Arról van szó, hogy attól, hogy valami szemre olyan, mint egy szabályos 11-szög, attól még esze ágában nincs szabályos 11-szögnek lenni.

Másrészről azonban lehet úgynevezett alternatív geometriákat felépíteni, ahol az előbb taglalt szerkeszthetőségi elmélet egészen más. Például a hajtogatási geometriában simán lehet szabályos kilencszöget szerkeszteni (a minimálpolinom és a felbontási test foka egyaránt 6).

Tehát elképzelhető, hogy az illetők alternatív geometiát építettek, esetleg ravasz szerkesztőeszközökkel, amik meg tudtak oldani ötödfokú egyenletet is. Úgy meg simán megy a szerkesztés. De ez nagyon kevéssé valószínű, tekintve hogy ezek borzalmasan bonyolult eszközök kelletek, hogy legyenek.

A legvalószínűbb tehát az, hogy csináltak egy jó közelítő eljárást. És aszerint rajzoltak meg építettek. Nem hiszem, hogy matematikai értelemben vett szerkesztéről lenne szó.

Mi az a hajtogatási geometria?

Nem sokat tudok róla, pár éve akadt a kezembe egy cikk, és sajnos nem olvastam el rendesen. Nem kifejezetten precíz matematika, inkább egy játékos dolog.

A lényeg a következő. Van egy papírlapod, és ezeket egyenesek mentén meghajlíthatod. Azután kihajtogatásnál előállnak mindenféle alakzatok a hajtási vonalak mentén.

A derékszög szerkesztése például a következőképpen megy. Egy egyenese mentén meghajlítod a papírt. Ezután pedig a kapott - egyenessel határolt - alakzatot úgy hajlítod meg, hogy a két rész takarja egymást. Amikor visszaállítod az eredeti állapotot, derékszög rajzolódik ki.

És akkor vannak mindenféle trükkök, egy darabig nézegettem őket, aztán beleuntam, a végére lapoztam, ott pedig szerepelt a szabályos kilencszög kihajtogatása.

Ez nagyon érdekesnek tűnik. Nem emlékszel, hol található meg ez a cikk?

Sajnos nem:(.

Feladok itt is egy feladatot.

Tegyük fel, hogy az a_nxⁿ+...+a₁x+a₀ egész együtthatós polinom együtthatóira és a p prímszámra a következők teljesülnek: p osztja a_i-t pontosan akkor, ha i<n; p² nem osztja a₀-t. Bizonyítsuk be, hogy a polinom nem bontható fel alacsonyabb fokú egész együtthatós polinomok szorzatára. (Ez a Schönemann-Eisenstein-féle irreducibilitási kritérium.)

Mindenkit tisztelettel üdvözlök, mint új belépő, s nem matekzseni. Első nekifutásra mediátor topiktársam soraira reagálnék a 440 fokos körfelosztásra.

Természetesen fel lehet osztani a kört 440 egységre, de ebben az esetben sem lehet több egy egységhez tartozó szögmérték összege, mint 360 fok, vagyis a 440 egységű felosztásban semmi más nem történik, mint az alapértelmezésű 1 fok helyett annak kisebb arányú értékét kajuk, azaz 0,81818....értéket, végtelen formában. Az igaz, hogy a 440-es felosztás esetén a 11 oldalú sokszög egy háromszögéhez ebből az értékből 48,88 db kellene ahhoz, hogy egy db 40 fokos háromszöget kapjunk, s ebből kellene 11 db összesen. Eleve nem lenne pontos az így kapott sokszög semmilyen értéke,hiszen maga a 0,81818... is végtelenségig ismétlődik. Matematikailag lehet számolni, de geometriailag kiszerkeszteni lehetetlen a geometriai szerkesztés kritériumait tekintve. De még mérni sem lehet pontosan, hacsak nem olyan szögmérős körzővel dolgozunk, melynek az osztásai az alapot adó 1 fok helyett 0,181818..., de ez már nem szerkesztés. Elvileg és matematikailag is ugye az így kapott 11 oldalú sokszögnek egy háromszöge 40 fokot adna ki, de ha pontos értéket számolunk legalább 4 tizedes értéket figyelembe véve is szerkeszteni nem lehet. Nekem már az is zseni, aki egy fokot ki tud szerkeszteni önmagában egy körben, nemhogy annak 0,81818....értékét. Nos,nem kizárt természetesen, hogy az én elégtelen matematikai tudásom és ismeretem miatt nem tartom megoldhatónak a feladatot. Ami viszont érdekesebb számomra, a térkép, amit Ön említett, s melynek léptéke 1:440 000-es arányú lenne. Ugyanis ilyen léptékű térkép az említett 12-13.században nem volt ismert, de általában semmilyen pontos léptékű és mértékű térkép sem volt ismert. Ez a lépték általában nem elterjedt szabványlépték a téképészetben sem, de létezik ma már. Ilyen térkép azonban a Német Lovagrend tagjainak aligha állhatott rendelkezésére, vagyis nem valószínű, hogy ők egy térképen szerkesztették meg előbb az öt vár helyzetét. Ha így is lenne, még nehezebb lehetett ezt pontosan kimérni, és elhelyezni a valóságban. A mai igen fejlett és kroszerű technikai mérőműszerekkel elképzelhető, hogy matematikai pontossággal ki lehet tűzni 5 ilyen pontot a helyszínen, de ekkora távolság esetén ez sem valószínű. Ezen kívül pedig még egy kérdés felmerül bennem, hogy a feltételezett térképszerkesztést követően, hogyan jelölték ki, és mihez mérték a valóságban azt a pontot, ami térképen megjelent, mint fix pontocska......

Egyébként számomra, mint laikus számára valóban érdekes, és összetett téma, amit felvetett,de törétnelmi oldalát tekintve is érdekes felvetés. Kiváncsiam várom a további hozzászólásokat.

Ha 440 részre osztjuk a teljesszöget, akkor a 11-szöghöz nyilvánvalón 40 db kell (440/11), nem pedig 48,88, szóval itt valami sántít. A gond azzal van, hogy az 1/440 teljesszög nem szerkeszthető.

Itt nagy zavart érzek. Ugyanis a (360/17)°-kal ugyanaz a probléma lehetne, mint a (360/11)°-kal, hiszen az is végtelen, szakaszos tizedestört, szabályos 17-szög mégis szerkeszthető.

Kedves Sirpi! Tökéletesen igaz, 40 db kell a 0,8181...fokos kis háromszögből, így kajuk meg a szükséges 32,72.... fokos szükséges szöget, mely végtelen tizedeseket ad. Ami a lényeg, hogy 1/440 teljes szög nem szerkeszthető. Ide akartam kilyukadni én is.

Minden bizonnyal így igaz, magam ugyan nem tudom kiszerkeszteni, kissé bonyolultnak tűnik.

Először is gratulálni szeretnék mediatornak a felfedezéséért; kitartást neki, de legfőképp egészséget!

Apámtól örököltem a történelmi rejtélyek iránti érdeklődésem, rendkívül izgalmas dolognak tartom ezt a témát. A problémához sok segítséget nyújthatnak a műholdfelvételek, mindenkinek ajánlom a google earth ingyenes verzóját, melyet innen tölthet le(jobb felső, zöld gomb): http://earth.google.com/

Én még csak egy matek szakos gimnazista vagyok, bármilyen tévedésemet javítsátok ki, bélyegezzetek naivnak, ha kell.

Szerintem a megszerkeszthetőségen nem érdemes vitatkozni; meglehetősen kicsi az esélye, hogy szinte minden matematikus tévedett volna, nem beszélve arról, hogy ellenkező eseben megdőlne az egyik alapvető axióma, amely a jelen matematikát alkotja: egy állításnak és komplementerének nincs metszete, hiszen maga a komplementer definíciója biztosítja ezt (egy állítás és komplementerének teljes eseményrendszert alkot) (6. hozzászólás 1. mondata,[Sirpi]) Ha ez az axióma megdőlne, egy új, más matematikát kellene bevezetni(pl. az euklideszi geometria után a nemeuklideszi), bár ilyen önmagának ellentmondó rendszerben nem lehetne bármit is bizonyítani(!). Ezt axiómák nélküli matematikát(!!!) szerintem nem lehetne sokmindenre használni(várom az ellenvéleményeket; remélem, lesznek).

Szerencsére a problémánk egyszerűbb. Egy (majdnem)szabályos 11szöget keresünk. Itt inkább a fizikus gonbdolkodásmódot kövessük: bizonyos dolgokat elhanyagolunk, bizonyosakat megtartunk. A feltételezések kötetekre rúghatnának, hogy hányféle eljárással tudtak a középkori mérnökök közelítőleg 11szöget alkotni. Az sem biztos, hogy sikerült nekik, de a térképről leolvasva van esélye, tehát tételezzük fel: igen. Mivel várakról van szó, relatíve nagy építményekről, adjuk meg, mik lehetnek a maximális hibakorlátok, amik nem befolyásolják túlzottan az ábrát. Hibaforrások:- a Föld közelítőleg forgási ellipszoid - a felülete szabálytalan - a műszerek pontatlanok voltak - természeti akadályok a meghatározott csúcsokban; így nem épülhetett oda vár - stb.

A tizenegyszög keresése közben a pontatlanságokat kell figyelni. Először rajzoljuk fel a síktérképre a tizenegyszöget(elhanyagoljuk a Föld felülete és a sík közötti egyenlőtlenségeket); ha a csúcsokban nem találunk semmit, kezdjünk köröket rajzolni a feltételezett helyek köré, amíg nem ér el a peremük a várak feltételezhető helyéig. Ez csak egy módszer, várom a jobb ötleteket.

Előfordulhat, hogy nem is 11szög-alakban helyezkednek el a várak, hanem más síkidomban. A történelmi, vallási vonzata a dolognak jól jöhet: ötleteket szülhet, milyen síkidomok lehetnek ezek.

A matematikai vonzat csupán a közelítés, becslés matematikája, hiszen a földi környezet nem tökéletetes, ellenben az elméletben létező euklideszi térrel. Nem szükséges a 11szög megszerkesztése; meg lehet kerülni a lehetetlent, mert a probléma nemlehetlen.

Üdvozletem a Fórum látogatóinak. Annak idején kaptam annyi hideget-meleget, hogy elment a kedvem attól, hogy matematikai tudás nélkül vitatkozzak a matek zsenikkel. Védeni egy "igazságot", amit még bizonyitani sem tudok, oktalanság. Most, hogy sok hónappal később, - szinte véletlenül megnéztem az oldalt, - kénytelen vagyok újra szólni. Különösen Neked, a dicséretért. Az sem érdektelen, hogy valamit elinditottam, és az a "valami" elkezdett saját életet élni.

A várakról, és erről az egész őrült teoriáról még sokat tudnék mondani, de tényleg csak akkor lenne érdemes ezt megtennem, ha nem a matematikai tétel megdöntésének szándékával tenném. Ezt pedig, mint korábban irtátok, nem egy matek topikon kellene tennem.

Tényleg jó érzés volt visszajönni közétek, és ha kell a "történelmi" vonatkozású információ valakinek, irthat nekem. A mediator@primposta.com cimre is.

Ha valaki még van ezen a fórumon, akkor elmondom a gondolataimat, amelyek eszembe jutottak akkor, amikor Kertitörpe hozzászólását újra, és újra elolvastam.

Ő ezt írja többek között: A tizenegy szög keresése közben a pontatlanságokat kell figyelni. Először rajzoljuk fel a síktérképre a tizenegy szöget (elhanyagoljuk a Föld felülete és a sík közötti egyenlőtlenségeket); ha a csúcsokban nem találunk semmit, kezdjünk köröket rajzolni a feltételezett helyek köré, amíg nem ér el a peremük a várak feltételezhető helyéig. Ez csak egy módszer, várom a jobb ötleteket. Jó ötleteket vár. Ezen a ponton jöttem rá, hogy én korábban vagy nem jól írtam le a gondolataimat, vagy a vitapartnerek nem jól értették. Leírom azt, hogy én mit állítottam.

Első lépésként meghatároztam a kiindulási pontot. Abból indultam, ki, hogy az nem lehet véletlen, ha egy egyenesen, amit két hegycsúcs között húztam meg, két várrom is van, amelyekről több kutató is azt állítja, hogy azokat a Német Lovagrend építette. ( A geometriai ábrák rajzoláshoz a Freeytag féle Románia térképet használtam. )

Mondjuk azt, hogy ez a pont a térképen Teliu ( A mostani magyar neve a falunak Keresztvár. Van a falu felett két várrom, de a történészek egy része vitatja, hogy ezeket a várakat a Keresztes Lovagok építették volna, és ebbe a vitába most mi ne bonyolódjunk bele. Fogadjuk el kiindulási pontnak ezt a helyet. )

A második pont CODLEA falu legyen. A falu magyar neve Feketehalom, és itt is áll egy várrom a falu felett, de erről a várról tudják (?) hogy a Lovagrend építette. Ennek a várnak egyébként az én elképzeléseim szerint igen fontos szerepe van. Itt említem meg, hogy ezen a térképen jelölve vannak a várromok is, és én a körzőmet mindig ezeknek a kis ábráknak a közepébe szúrom bele. Ezek a kis ábrák adják azokat a pontokat, amelyek a viszonylagos pontosságát biztosítják az ábrának, de csak ezzel a Freeytag féle térképpel tudtam a magam ábráját ilyen módon megrajzolni. Vagy ez a térkép igazán valóság hű, vagy egy fatális véletlennel állunk szemben.

A körzőm hegyét beleszúrtam a Teliu felett lévő várrom ikonjába, és kinyitottam a körzőmet, annyira, hogy a grafit a Codlea felett lévő ikon közepén legyen. Ezzel a körzőnyílással rajzoltam egy körívet a térképre. Ez a körív pontosan metszette a térképen lévő következő várrom ikonját. Ez a várrom Höltövény vára. Ennek a várnak az építését sem vitatják el a Lovagrendtől, és látótávolságra van Codlea-tól, Brassó várától, valamint Földvártól, a mai nevén Feldiora-tól, ami tudottan a Német Lovagrend központja volt.

Folytatás Kertitörpének, második rész:

Ez a közbeszúrt megjegyzés senkit se zavarjon meg, csupán érdekességként említettem meg. Ez az úgynevezett Barcaság, - amit II. András a Lovagrendnek adományozott, egy igen érdekes terület. Egy szabályos medence, és ha felállunk a földvári várrom falára, akkor a teljes medencében körbe láthatunk. Látjuk azt az öt várat, amelyet a Lovagrend építhetett.

Földvár régi neve Marienburg volt. A Lovagrend védőszentje volt Mária, és Róla kapta a nevét. Erről, és még nagyon sok egyéb történelmi tényről hatalmas mennyiségű írásos anyagot lehet találni németországi levéltá-rakban, és természetesen a neten is. Itt említem meg, hogy a falu templomának oltára mögötti falon még a múlt század végén is látható volt egy freskó, amely Mária előtt térdelő lovagokat ábrázolt, de sajnos azóta ezt a képet gondosan fehérre meszelték.

Térjünk vissza az ábrához. Tehát adva van egy szabályos kör, Teliu-val a középpontban. Ennek a körnek a sugara a Teliu Codlea távolság. Teliu-val kapcsolatosan még lenne egy apró érdekesség. Ha egy egyenessel összekötjük az egymástól több tíz kilométer távolságra lévő két hegycsúcsot, - Pásztor csúcs és a Lakóca csúcs akkor ez az egyenes metszi a Teliu felett lévő várrom, és a brassói öregvár ikonját. Véletlen lehet, de azért érdekes. A debreceni egyetem professzora Pósán László, aki avatott szaktekintélye ennek a témának, még könyve is megjelent néhány évvel ezelőtt, és Ő is érdekesnek itélte meg ezt a feltevést, és azt kérte, hogy próbáljak meg más helyszíneken is geometriai alakzatokat keresni a térképen. Értsd: olyan területeken, ahol a lovagrendek ( Teutonok, Keresztesek ) várakat építettek. Sajnos nem kaptam meg Tőle a megígért térképeket, és mint mondtam, belefáradtam a témába, így nem tudtam még magamnak se igazolni az elképzeléseim helyességét.

Az mindenesetre az igen érdekes, hogy bizonyos logika szerint helyezkednek el ezek a várak a térben, és egymáshoz képest is. Nem szeretném a gondolatmenetet, és a fórum tagjait megzavarni, de ha már a fenti néhány sort leírtam, kénytelen vagyok néhány újabb érdekességet megemlíteni. Kertitörpe többek között ezt írja: Előfordulhat, hogy nem is 11szög-alakban helyezkednek el a várak, hanem más síkidomban.

Igaza van. Pontosan ez az a körülmény, ami engem is összezavart, elbizonytalanított. Ezen a területen (Barcaság) és ezen a térképen a várakkal kapcsolatosan több hasonló geometriai alakzatot tudok megrajzolni, de nem látom közöttük az összefüggéseket. Feltételeztem, hogy valaki, valamit üzent az utókornak, de nem tudom, hogy ki üzent, miért, és mit. Lassan már én is elhiszem magamról, hogy tényleg bolond vagyok.

Mindenesetre az igen érdekes a számomra, hogy egy egyenessel össze lehet kötni Jeruzsálemet a dán szigettel Bornholm-mal, amit mások is megtettek már, de ők sem tudják, hogy ez a valóságban több ezer kilométeres képzeletbeli vonal egyetlen olyan települést érint Európában, ahol lovagrendi vár van. Ez a vár pedig éppen Feketehalom-Codlea, ami az egyik általam szerkesztett geometriai alakzatban egy Dávid csillag egyik szárán van, ami 30 fokos szöget zár be Földvár várával. ( Ez aztán igazán bonyolultra sikeredett, de ez akkor is így van, és én látom az ábrát, amit kérésre szívesen elküldök bárkinek. )

Térjünk vissza a 11 szög problémájához. Tehát adva van a középpont ( Teliu ). Felvesszük a körzőnkkel a képzeletbeli kör sugarának hosszát ( a Teliu azaz Codlea távolság ), és megrajzoljuk a kört. Ez a körív metszi Höltövény várát. A következő lépés a szerkesztésben ha ez szerkesztésnek számit, hogy a Codlea Höltövény távolságot, ami a köríven adódik rámérjük a körívre, és ezzel a kört 11 egyenlő cikkre osztottuk fel. Ennyi csak a varázslat. Hogy ez miért van így, nem tudom. Hogy mi köze van ennek a matematikához, azt sem tudom, de remélem, hogy ez NEM VÉLETLEN, és bízom abban, valaki egyszer megfejti ezt a titkot.

Az általam rajzolt ábrát megpróbálom feltenni a szöveg mellé, de ha nem sikerül, akkor kérésre bárkinek szívesen elküldöm e-mail-ben.

Még egy megjegyzés a korábbi hozzászólásokhoz. Én a dolgokat csak a logika felöl tudom megközelíteni, mert a matematika nem az én világom. Az általam korábban felvetett gondolat, miszerint a régi öregek valami miatt a kört nem 360 fokra, hanem 440 fokra osztották, lehet, hogy nagyon rossz gondolat, de az bizonyosnak látszik, hogy ha a lányom születésnapjára nem 359 vendég jön, hanem 439, akkor is adnom kellene minden gyereknek ugyanakkora tortaszeletet. Lehet, hogy ebben is tévedek?

Kedves Vonka Vilmos Úr, írnál nekem a mediator49@gmail.com címre? Lenne néhány kérdésem a szerkesztéseddel kapcsolatosan.

Üdv: Alex.

Sziasztok,

most bukkantam rá (újra) erre a topikra :) Hogy hogyan??? Elég volt rákeresni "szabályos 17-szög" képekre googliban, és első helyen adta Maga Petit :D

Látom lecsillapodtak már a kedélyek, megjegyezném hogy azt hiszem én meg tudom szerkeszteni a szabályos 11-szöget, Galois-elmélet ide vagy oda (még jó, hogy nem azt kaptam anno algebravizsgán) :)))

Sambuca

Na, akkor most már csak a peremfeltételeket kell tisztáznunk... Euklídeszi sík, körző+vonalzó? Vagy mi egyebet használsz hozzá? Mert pl. egy madzaggal meg két rajzszöggel tetszőleges ellipszist is lehet szerkeszteni (tudom, most nem azt kell, csak egy példa volt).

Tizenegyszöget tényleg nem nehéz: kihasználva, hogy =22/7, egyszerűen fogsz egy 7 egység sugarú kört, és fölmérsz a kerületén egy 4 egység hosszú ívet (nem húrt), és ez megadja a tizenegyszög két csúcsát.

És megosztod velünk a felfedezésedet?

Tetszik szellemes megoldásod! De azt hiszem, nem jó helyen viccelődsz. Félek, azoknak, akiknek nem világos, hogy ezen a fórumon a szerkesztéseket, egyéb kikötések híján, "Euklídeszi sík, körző+vonalzó" peremfeltételekkel értjük, nem megy át a humor.

Sziasztok,

persze, csak poén volt, ha nem tűnt volna fel :)) meghagyom másnak a dicsőséget azt hiszem :)

üdv,

Egri Attila (2004 HUN1 :P)

Gratula! Benyaltuk ( én legalább is ) De hát manapság annyi hülyeséget olvas az ember... Üdv HoA

Szabályos n oldalú sokszög szerkesztése szakközépiskolai tananyag, holott a matematika ezt nem teszi lehetővé. Meg tudja mondani valaki, hogy a képen szereplő módszer mennyire pontatlan? Jobb kép sajnos nem fér el.

pi=22/7... Ez biztos? :)))

"Szabályos n oldalú sokszög szerkesztése szakközépiskolai tananyag, holott a matematika ezt nem teszi lehetővé."

A teáltalad említett tananyag módszere (és a mellékelt ábrán végrehajtott műveletsor) általános esetben nem vezet szabályos sokszöghöz. Pontatlan (azaz közelítő) szerkesztést a matematika is megenged, csak akkor az eredményt nem nevezhetjük szabályos sokszögnek.

A mellékelt módszer pontossága pedig függ az n-szög oldalszámától. Melyik esetre volnál kíváncsi?

én 9-szögnek számolom :)))

Én is annyinak számolom ... de a szövegben n-szöget ír. Az ábra is csak egy példa az n-szög szerkesztésére, ahol n-re csak annyi "követelményt" szoktunk tenni, hogy prím, esetleg csak hogy páratlan legyen. (Páros n-re is működik, de olyat az n/2 esetből szögfelezéssel biztosan lehet szerkeszteni.) Emellett a topikcím pl 11-szögről szól.

Számolgattam egy kicsit. (Pontosabban ax Excelt kértem meg erre.)

n=10001-ig az előforduló legnagyobb abszolút szöghiba (a szög tekintetében) 0,637°. Ez a fajta hiba minden n esetén a felfelé mutató függőlegestől számított első csúcsnál a legnagyobb, és a jelzett értéket a 21- ill 23-szögnél éri el.

Ugyanerre a csúcsra a relatív szöghiba az n növekedésével gyakorlatilag folyamatosan, bár degresszíven nő; pl. 9-szögnél 0,7 százalék, 25-szögnél 4,4 százalék, 10001-szögnél 10,2 százalék.

Ha a szöghibát a vízszintes átmérő végpontjához legközelebbi csúcsnál (a függőlegestől addig halmozott középponti szögek összegére nézve) tekintjük, akkor a hiba legnagyobb abszolút értéke (ez n=5 esetén áll elő) nincs 0,05° sem, és n növekedésével csökken, nagy n-ek esetében gyakorlatilag n-nel fordítottan arányos. Pl. n=1001 esetén a hiba 3,8.10^-4 fok, n=10001 esetén 3,8.10^-5 fok.

E szög relatív hibája pedig szintén n=5 esetén a legnagyobb (0,07 százalék) és n növekedésével szintén csökken, az előbbiekből adódóan nagy n-ek esetén szintén körülbelül n-nel fordított arányban; pl. n=1001 esetén a relatív hiba 4,2.10^-4 százalék, n=10001 esetén 4,2.10^-5 százalék.

Készítettem egy ábrát is. Legyen a kör sugara egységnyi. A _k szög a k-adik csúcshoz tartozó szög a pozitív függőlegestől jobbra mérve. Ennek kiszámításához először a t_k szakaszt állapítjuk meg; ez ugye

Az szakasz a szerkesztésből adódóan ; ezzel az egyenes egyenlete

másfelől

x²+y²=1,

amelyekből az y (=s) értékére

A másodfokú egyenlet két gyöke közül nekünk mindig a nagyobb abszolút értékű kell; ezért szerepel a sgn(t_k) szorzó.

Az ábrából láthatóan a kapott s érték az _k szög szinusza, így abból _k, majd

_k=90°-_k

révén a _k is számítható. (s és így _k is természetesen előjeles mennyiség; ennek megfelelően _k elvi maximuma 180°).

Ejnye ... nem vettem észre, hogy s képlete egyszerűsíthető:

azaz

Ha még aktuális a szabályos 11szög szerkesztése, akkor a következő képleteket szerkesztettem. A képletek alapján ki lehet találni, hogy hogyan lehet szabályos 11szöget szerkeszteni csak körző és egyélű beosztás nélküli vonalzót használva véges sok lépésben, feltéve ha valahogy tudunk szöget öt egyforma nagyságú részre osztani.