[1204] HoA | 2009-04-17 09:10:46 |
Szerintem nem érdemes annyival elintézni az inverziós megoldást, hogy „inverzió a B pontra és kész”. Más feladatoknál is felhasználható például, hogy három, a póluson nem áthaladó egyenesen fekvő pont képe egy, a póluson átmenő körön van, és viszont: ha négy pont húrnégyszöget alkot – egy körön van – akkor egyiküket pólusnak választva a másik három pont inverz képe egy egyenesen fekszik.
Legyen tehát az inverzió pólusa B, alapköre a k-t merőlegesen metsző kör. Ekkor k képe önmaga, A és A’ egybeesik, F képe az AB egyenes F’ pontja, melyre F’A = AB, AB Thálesz-körének képe az AB-re merőleges e egyenes, D képe, D’ BD és e metszéspontja, I képe a BI egyenes k-val alkotott második metszéspontja. CIF egyenes képe a B’, F’, I’ pontok által meghatározott kör. Ennek F’B húrja, e húrfelező merőlegese, tehát szimmetriatengelye. e k-nak is szimmetriatengelye, így a két kör metszéspontjai, C’ és I’ egymás tükörképei e-re. Ez igaz az F’, B pontpárra is, tehát a BD’I’ egyenes e-re vett tükörképe az F’D’C’ egyenes. A fentiek szerint ezért BCDF húrnégyszög, körülírt körében az egyenlő BF és DF húrokhoz egyenlő kerületi szögek tartoznak: DCF=FCB.
|
|
Előzmény: [1200] janomo, 2009-04-04 12:18:33 |
|
[1203] BohnerGéza | 2009-04-08 05:14:08 |
148. feladat: Mekkora annak a legkisebb körnek a sugara, amelyben átfedés nélkül elfér 6 db 4 cm sugarú kör? (Érintkezés lehet.)
|
|
|
|
|
|
|
[1197] BohnerGéza | 2009-04-01 19:15:28 |
Köszönöm HoA! Elírtam. Helyesen a feladat:
A Surányi János emlékverseny 2. feladata alapján.
147. feladat: Érintse a k kör az AB egyenest az A pontban és legyen C a k egy A-tól különböző pontja, F az AB szakasz felezőpontja. Az FC messe még k-t az I pontban, az A-nak a BI-re eső merőleges vetülete D.
Bizonyítandó, hogy CF felezi a DCB szöget.
|
Előzmény: [1196] HoA, 2009-04-01 16:15:55 |
|
|
[1195] BohnerGéza | 2009-03-31 20:57:04 |
Örülnék, ha nem csak HoA kapcsolódna be a 144. és 144.b feladat megoldásába.
Hogy jellemezhető pl. HoA 6 megoldása, hány és milyen megoldást adó P lehet még a háromszögön kívül?
|
Előzmény: [1193] HoA, 2009-03-28 14:32:44 |
|
[1194] BohnerGéza | 2009-03-31 20:48:12 |
A Surányi János emlékverseny 2. feladata alapján.
147. feladat: Érintse a k kör az AB egyenest az A pontban és legyen C a k egy A-tól különböző pontja, F az AB szakasz felezőpontja. Az FC messe még k-t az I pontban, az A-nak a BI-re eső merőleges vetülete D.
Bizonyítandó, hogy CF felezi a DFB szöget.
|
|
[1193] HoA | 2009-03-28 14:32:44 |
144.b feladathoz: Az ABC háromszögön belüli P pontokra a talpponti DEF háromszögben a megfelelő pontok hat különböző helyzetben lehetnek szabálytalan hegyesszögű háromszög esetén, lásd [1190] ábráját. A [1189]-ben vázolt szerkesztést elvégezve mind a hat pontra kapunk megoldást az ábra szerint.
|
|
Előzmény: [1192] BohnerGéza, 2009-03-25 04:35:44 |
|
[1192] BohnerGéza | 2009-03-25 04:35:44 |
a 144. feladattal kapcsolatban:
HoA nagy ötlete után példát mutatok az adott ABC háromszöghöz olyan P pont szerkesztésére, amelyhez adott QRS háromszöghöz hasonló talpháromszög tartozik:
Az ábra Q’PS’ szöge 180 fok-alfa, egyenlő a QP’S szöggel, így P’ számára adott vonal a QS szakasz 180 fok-alfa szögű látóköre. Hasonlóan pl. az RQ 180 fok-béta látóköre is, így P’ szerkeszthető.
A Pa pont SP’ távolságra van az AC-től és QP’-re az AB-től. P-nek az APa-n (és hasonlóan a BPb-n) kell lenni. …
Természetesen több megoldása lehet (van) a feladatnak. 144.b feladat: Adjuk meg a lehetséges megoldások számát!
|
|
Előzmény: [1188] HoA, 2009-03-22 19:52:41 |
|
[1191] Maga Péter | 2009-03-22 22:33:02 |
Szia! - 2 hónap késéssel, de...
Látom, hogy már kaptál segítséget, de ha dobsz egy e-mailt, akkor tudok küldeni egy anyagot. Nem egészen elemi, de annak idején (tavaly vagy tavalyelőtt) a debreceni Fazekas Gimnázium matek önképzőkörén mondtam el, és értették, legalábbis úgy tettek:).
|
Előzmény: [1166] edu, 2009-01-23 09:22:12 |
|
|
|
[1188] HoA | 2009-03-22 19:52:41 |
Nevezzük a megfelelő P pont vetületei által meghatározott háromszöget P talpponti háromszögének. Mit állapíthatunk meg az adott ABC háromszög oldalegyenesei által hét tartományra osztott sík egyes részeiben a P-ből a talpponti háromszög csúcsaiba vezető szakaszok által bezárt szögekről? Az 1. ábráról leolvasható, hogy 2-2 tartományban ezek a szakaszok egymással nem egymás szögtartományába eső , szokásos szögmérési irányban mért ( ,) , ( , ) illetve ( , ) szögeket zárnak be. A háromszög belsejében a megfelelő szakaszok szöge pl. ( –,– )
A keresendő P pontok lehetséges helyzetét vizsgáljuk nem az ABC, hanem a talpponti, DEF háromszöghöz képest. Ezzel a keresett P pontok megszerkesztésének egy lehetséges útját is kijelöljük. Általános hegyesszögű ( 45, 60 75 fokos ) háromszöget választottam. ( Majd meg kell vizsgálni, hogy módosulnak az eredmények egyenlőszárú, egyenlőoldalú, derékszögű, tompaszögű, vagy akár más általános hegyesszögű háromszög esetében. ) Ha van megfelelő P pont az 1. ábra BC szakaszának A-t nem tartalmazó oldalán lévő síktartományban, akkor P-ből a DEF háromszög egy-egy oldala ill. szög alatt látszik, mégpedig úgy, hogy P DEF egy-egy oldalának ill. látószögű, a háromszög belseje felé eső körívén van. ( Mikor jöhetnek szóba a külső körívek? )
|
|
Előzmény: [1186] BohnerGéza, 2009-03-19 19:55:52 |
|
[1187] fityfiritty | 2009-03-21 20:17:29 |
Köszönöm.
Itt egy új, a számozottak között 146. feladat:
A hegyesszögű APD AP, illetve PD oldalának tetszőleges pontja rendre B, illetve C. Az ABCD négyszög átlói a Q pontban metszik egymást. M1, illetve M2 rendre az APD, illetve a BPC magasságpontja. Az ABQ és CDQ háromszögek körülírt köreinek Q-tól különböző metszéspontja legyen X, a BCQ és ADQ háromszögekre ugyanígy kapott pont pedig legyen Y. Bizonyítsuk be, hogy: ha az M1, M2 és X pontok egy e egyenesre esnek, akkor Y e.
|
Előzmény: [1182] HoA, 2009-03-16 16:59:04 |
|
[1186] BohnerGéza | 2009-03-19 19:55:52 |
A 144. feladathoz: Az ábrán látható két olyan (a két kék ponthoz tartozó) az eredetihez hasonló "talpháromszög", melyekben az AB-nek megfelelő oldal az AB és az AC egyenest köti össze.
Az előző hozzászólás ábráján is két ilyen van, a zöld és a barna ponthoz tartozó. ...?
|
|
Előzmény: [1185] BohnerGéza, 2009-03-19 17:53:44 |
|
[1185] BohnerGéza | 2009-03-19 17:53:44 |
A 144. feladathoz: Az ábrán látható három, az eredetihez hasonló "talpháromszög".
A barna és a kék pont a háromszög Brocard-pontja. Azt nem nagyon nehéz bizonyítani, hogy a hozzájuk tartozó talpháromszögek megfelelnek a feladatnak, hogy ez a kettő egybevágó azt nehezebb.
A körülírt kör kp-jához tartozó középvonali háromszög is jó.
Az ábra zöld pontja is jó. ...?
|
|
Előzmény: [1173] BohnerGéza, 2009-02-16 20:08:53 |
|
|
[1183] SmallPotato | 2009-03-17 22:57:39 |
Találtam egy olyan irodalmat, amelyik talán érthetően vezeti le a dolgot. A 60-61. oldalakon van a Téged érintő/érdeklő rész. Ott y,x1,x2 változókról beszél, ezek a Te példádban (sorrendben) z,x,y.
A mintafeladatodat megcsináltam ezeknek az egyenleteknek a segítségével (a 61. oldal tetején a három egyenlet - mint egyenletrendszer - megoldása), és Excelben is (LIN.ILL függvény). Az eredmények teljesen megegyeznek.
A regressziós sík egyenlete a kis példádra, 6 értékes jegyre:
z=0,744949x+27,6667y-5898,09
Írj mailt, megküldöm az Excel-táblát.
|
Előzmény: [1181] david20, 2009-03-16 12:01:19 |
|
|
[1181] david20 | 2009-03-16 12:01:19 |
Üdvözöllek!
Elolvastam a linkelt doksikat, és sok példát is találtam a neten, de valahogy nem akar kijönni...
Tudna valaki egy kis példán keresztül segíteni a "regressziós sík" kiszámításában az alábbi pontokra.
Előre is köszönöm.
|
|
Előzmény: [1177] SmallPotato, 2009-03-11 01:09:43 |
|
|