Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

Pataki János

Beszámoló a 13. Gillis-Turán matematikaversenyről

Ez év március 19. és március 23. között zajlott le a magyar és izraeli diákok közti hagyományos matematikaverseny. A lényegében háborús izraeli helyzet miatt a versenyre a tavalyi év után ismét Budapesten került sor. Akárcsak tavaly, a vendéglátó a budapesti Lauder Javne gimnázium volt.

A két országot hattagú csapatok képviselték. A magyar csapat tagjai a következők voltak:

Csikvári Péter 12. évf. (Fővárosi Fazekas Mihály Gyakorló Gimnázium);
Gerencsér Balázs 12. évf. (Fővárosi Fazekas Mihály Gyakorló Gimnázium);
Hablicsek Márton 10. évf. (Fővárosi Fazekas Mihály Gyakorló Gimnázium);
Harangi Viktor 12. évf. (Fővárosi Fazekas Mihály Gyakorló Gimnázium);
Jankó András 11. évf. (Szeged, Ságvári Endre Gyakorló Gimnázium);
Rácz Béla András 10. évf. (Fővárosi Fazekas Mihály Gyakorló Gimnázium)

A versenyen örvendetes módon a két csapaton kívül ,,nem hivatalosan'' részt vett a vendéglátó iskola két diákja, Biró Julia és Szántó András és az iskola vendégeként Szilvási Sándor, a veszprémi Lovassy László Gimnázium tanulója.

Az első két napon került sor a Nemzetközi Matematikai Diákolimpia lebonyolításához hasonló egyéni versenyre. Mindkét napon 3-3 feladatot kellett megoldani, ehhez 4,5 óra állt a diákok rendelkezésére. Az egyes feladatok hibátlan megoldásával 7 pontot lehetett szerezni. Idén a feladatsor kissé könnyebbnek bizonyult a szokásosnál.

Két izraeli diák, az immár negyedszer résztvevő Ran Tessler és a vendégcsapat egyetlen újonca, Yedidya Yoni érte el a maximális, 42 pontot. A magyar diákok közül Csikvári Péter és Rácz Béla András szerepeltek a legjobban: egyformán 34 pontot szereztek. Bár a verseny egyéni volt, minden évben kiszámoljuk a két csapat pontszámát: az izraeli diákok összesen 157, a magyarok pedig 149 pontot szereztek.

A harmadik napon került sor a csapatversenyre, ahol a polinomok témaköréből tűztünk ki egymásra épülő feladatokat. A 3 fős csapatoknak 3,5 órájuk volt arra, hogy a problémákat megoldják. Itt is a kitűnően felkészült vendégek szerepeltek jobban, egyik csapatuk lényegében valamennyi feladatot megoldotta.

A versenynapok délutánján angol nyelvű előadásokra került sor: az első versenynapon Pelikán József (ELTE TTK) tartott algebrai tárgyú előadást, a másodikon Moussong Gábor (ELTE TTK) Turning Numbers címmel látványos számítógépes szimulációval kísért geometriai tárgyú előadása aratott méltán nagy sikert, a zárónapon pedig Gyárfás András (MTA SZTAKI) beszélt gráfok és hipergráfok kromatikus számával kapcsolatos problémákról.

Az alábbiakban ismertetjük a verseny feladatait.

1. Keressük meg azt a legnagyobb pozitív egész k számot, amelyre 2001^k osztója a

2000^{2001²⁰⁰²}+2002^{2001²⁰⁰⁰}

számnak.

2. Az egyenlő oldalú ABC háromszög belsejében lévő A₁, B₁, C₁ pontokra teljesül, hogy

B₁ AB $\angle$ =A₁ BA $\angle$ =15^o,

C₁ BC $\angle$ =B₁ CB $\angle$ = 20^o,

A₁ CA $\angle$ =C₁ AC $\angle$ =25^o.

Mekkorák az A₁ B₁ C₁ háromszög szögei?

3. Legyen p $\ge$ 5 prímszám. Bizonyítsuk be, hogy van olyan pozitív egész a, amelyik kisebb, mint p-1 és sem a^p-1-1, sem pedig (a+1)^p-1-1 nem osztható p²-tel.

4. A nemnegatív x, y számokra

x³ + y⁴ $\le$ x² + y³.

Bizonyítsuk be, hogy x³ + y³ $\le$ 2.

5. Az ABC háromszög belső M pontjából bocsássunk merőlegeseket a háromszög oldalegyeneseire. Jelölje rendre A', B', C' a megfelelő talppontokat a BC, CA, AB oldalakon és legyen

$p(M)=\frac{MA'\cdot MB'\cdot MC'}{MA\cdot MB\cdot MC}.$

Az M pont milyen helyzetében maximális a p(M) mennyiség?

6. A legalább másodfokú racionális együtthatós p(x) polinomra és a racionális számokból álló r_n sorozatra teljesül, hogy r_n = p(r_n+1) minden pozitív egész n esetén. Igazoljuk, hogy az r_n sorozat periodikus, azaz alkalmas k pozitív egésszel r_n = r_n+k minden n $\ge$ 1 esetén.

A csapatverseny feladatai

Legyen a p(x) és a q(x) két nem konstans valós együtthatós polinom. Azt mondjuk, hogy a p(x) és a q(x) fölcserélhetők, ha p(q(x))=q(p(x)).

1. Legyen f(x) =2x². Keressük meg azokat a g(x) polinomokat, amelyek fölcserélhetők az f(x) polinommal.

2. Legyen a $\ne$ 0 adott valós szám és f(x) = ax+1. Keressük meg azokat a g(x) polinomokat, amelyek fölcserélhetők az f(x) polinommal.

3. Legyen a adott valós szám és f(x)=x²-a. Keressük meg azokat a legfeljebb harmadfokú g(x) polinomokat, amelyek fölcserélhetők az f(x) polinommal.

4. Adott másodfokú f(x) polinomhoz keressük meg azokat a negyedfokú g(x) polinomokat, amelyek fölcserélhetők az f(x) polinommal.

5. Legyen az f(x) tetszőleges másodfokú polinom. Bizonyítsuk be, hogy ha a p(x) és a q(x) polinomok mindketten fölcserélhetők az f(x) polinommal, akkor egymással is fölcserélhetők.

6. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan végtelen p₁(x),p₂ (x),...,p_k (x),... polinomsorozat, amelynek bármely két tagja fölcserélhető, a p_k (x) k-adfokú, és

p₂ (x) = x²-2.

7. Keressük meg mindazokat a

p₁ (x),p₂ (x),..., p_k (x),...

polinomsorozatokat, amelyeknek bármely két tagja fölcserélhető és a p_k (x) k-adfokú polinom.

Támogatóink:

ELTE