KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

Matematikából kitűzött gyakorlatok és feladatok
2001. március

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.


A C pontversenyben kitűzött (könnyebb) gyakorlatok

C. 620. Egy trapézt szimmetrikus trapéznak nevezünk, ha alapjainak felező merőlegese egybeesik. Igaz-e, hogy ha egy trapéz szimmetrikus, akkor szimmetrikus trapéz?

C. 621. Egy sütödében, ahol mazsolás kalácsot is készítenek, a pék azt szeretné, ha a kalácsok bármely 4 dkg-os szeletében legalább 0,99 valószínűséggel lenne mazsola. 1 kg kalács elkészítéséhez hány szem mazsolát keverjen a tésztához?

C. 622. Adjuk meg az összes olyan 7-tel osztható \overline{ABCCBA} alakú hatjegyű számot, amelyre \(\displaystyle \overline{ABC}\) is 7-tel osztható. (A, B, C különböző számjegyeket jelölnek.)

C. 623. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:

\(\displaystyle \eqalign{a^2b^2-a^2-ab+1&=0\cr a^2c-ab-a-c&=0\cr abc&=-1.\cr}\)

Javasolta: Kiss Sándor, Szatmárnémeti

C. 624. Belefér-e százezer darab 4 cm átmérőjű szabványos pingponglabda egy 200x164x146 cm méretű ládába?


A B pontversenyben kitűzött feladatok

B. 3442. Van-e olyan 2001 jegyű természetes szám, amely -- a tízes számrendszerben felírva -- megegyezik a 2001-edik hatványának utolsó 2001 számjegyével? (4 pont)

Javasolta: Kiss Tamás, Budapest

B. 3443. Az ABCD téglalap CB oldalának B-n túli meghosszabbítására, valamint a CD oldalának D-n túli meghosszabbítására egyenlő hosszúságú szakaszokat mértünk fel. Így kaptuk az F, illetve az E pontokat. Igazoljuk, hogy az EB és az FD egyenesek metszéspontját A-val összekötő egyenes felezi az A csúcsnál lévő szöget. (3 pont)

B. 3444. A pozitív egész számokból álló végtelen a1, a2, a3, ... an, ... sorozatban jelölje fn az n természetes szám előfordulásainak a számát, ha ez az érték véges.

Az a1, a2, ... an, ... sorozat ,,gyakoriságsorozata'' ezután az f1, f2, ... fn, ... sorozat, ha minden fi véges. Hasonlóan értelmezzük a fenti f1, f2, ... fn, ... sorozat gyakoriságsorozataként az a1a2, ... an, ... sorozat másodrendű gyakoriságsorozatát, ha minden gyakoriság véges, és ennek gyakoriságsorozataként a harmadrendű gyakoriságsorozatot és így tovább.

Van-e olyan a1, a2, ... an, ... sorozat, amelynek minden k-ra létezik a k-adrendű gyakoriságsorozata? (4 pont)

B. 3445. Van-e olyan háromszög, amelyet valamelyik oldalával párhuzamosan ketté lehet vágni úgy, hogy a két rész kerülete is és területe is egyenlő? (4 pont)

Javasolta: Reményi Gusztáv, Budapest

B. 3446. Határozzuk meg a q(x) polinomot úgy, hogy a p(x)=x2+x+1 polinommal p2(x)-2p(x)q(x)+q2(x)-4p(x)+3q(x)+3equiv0 azonosság teljesüljön. (4 pont)

B. 3447. Az ABC háromszög oldalait pozitív körüljárás szerint kétszeresére nyújtjuk, majd ugyanezt megismételjük a kapott A1B1C1 háromszögre, ezúttal negatív körüljárás szerint. Bizonyítsuk be, hogy az így kapott A2B2C2 háromszög hasonló az ABC háromszöghöz. Milyen hasonló állítás igaz négyszögekre? (4 pont)

B. 3448. Mutassuk meg, hogy adott ellipszisbe írt olyan háromszögek területe, amelyek súlypontja egybeesik az ellipszis középpontjával, állandó. (4 pont)

Javasolta: Kiss Sándor, Szatmárnémeti

B. 3449. Legyen a>1 adott egész szám. Bizonyítsuk be, hogy ha az x2-ay2=-1 egyenletnek van egész megoldása, akkor végtelen sok egész megoldása van. (5 pont)

Javasolta: Fried Ervin, Budapest

B. 3450. Tekintsük azokat a síkokat, amelyek a T tetraéder lapsíkjaival párhuzamosak, és a T-ből általuk levágott kis tetraéderek térfogata T térfogatának 1/3 része. A T térfogatának hányadrésze marad meg, ha csúcsait levágjuk ezekkel a síkokkal? (5 pont)

B. 3451. Oldjuk meg a következő egyenletet: \arcsin
x+\arcsin\sqrt{15}x=\pi/2. (4 pont)


A pontversenyben kitűzött nehezebb feladatok

A. 260. Adott az e egyenesen négy különböző pont: A, B, C és D, és tudjuk, hogy \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}. Létezik-e olyan, egyetlen egyenes vonalzót használó szerkesztési eljárás, amely egy e-vel párhuzamos egyenest szerkeszt meg?

A. 261. Aladár és Benedek egységnyi oldalú szabályos háromszögekből összerakott egy n oldalú szabályos háromszöget. Az így kapott táblán a következő játékot játsszák: Felváltva kiszíneznek egy-egy csúcspontot a piros, kék és zöld színek valamelyikével mindaddig, amíg az összes csúcs, beleértve a nagy háromszög oldalain és belsejében levő pontokat is, ki lesz színezve. Minden olyan egységnyi oldalú háromszögért, amelynek csúcsai piros-kék-zöld színűek pozitív körüljárás szerint, az első lépést megtevő Aladár kap egy pontot. Azokért a háromszögekért, amelyeknek csúcsai piros-kék-zöld színűek negatív körüljárás szerint, Benedek kap egy-egy pontot. Az nyer, aki több pontot szerez.

Kinek van nyerő stratégiája?

A. 262. 0<a<b<c egész számok. Bizonyítsuk be, hogy léteznek olyan x, y, z egész számok, amelyek nem mind 0-k, ax+by+cz=0 és |x|, |y|, |z| mindegyike kisebb, mint \(\displaystyle {2\over{\sqrt3}}\sqrt c\).

2000. évi Schweitzer-feladat alapján


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásai a következő címekre küldhetők:


Bolyai János Matematikai Társulat (KöMaL feladatok); Budapest, Pf. 433. 1371
illetve
megoldas@komal.elte.hu (Az interneten keresztül történő beküldésről olvassa el tájékoztatónkat)

A beküldési határidő: 2001. április 15.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley