KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

Matematikából kitűzött gyakorlatok és feladatok
2001. december

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.


A C pontversenyben kitűzött gyakorlatok

Minden C-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

C. 650.  Egy képkereskedésben a képek keretének ára egyenesen arányos a bennük lévő festmények értékével. A kereskedő annak érdekében, hogy bizonyos képek ára közötti különbséget csökkentse, felcserél egymással két-két keretet. Az egyik esetben az a kép, amely ötször annyiba került, mint a másik, kereteik felcserélése után már csak háromszor annyiba kerül. Hogyan módosul a ,,Téli táj'' és a ,,Falu rossza'' c. képek árainak aránya, ha kereteik felcserélése előtt a ,,Téli táj'' kilencszer annyiba került, mint a ,,Falu rossza''?

C. 651.  Az ábrán látható egységnyi területű körben a szürke tartományt félkörívek határolják. Az AB átmérőnek 1/5 egységnyi része esik a satírozott tartomány belsejébe. Mekkora a satírozott tartomány kerülete és a területe?

C. 652.  Legyen s páratlan sok jegyű pozitív egész szám. Jelölje f azt a számot, amely s számjegyeiből áll, csak fordított sorrendben. Bizonyítsuk be, hogy s+f pontosan akkor osztható 11-gyel, ha s is osztható 11-gyel.

C. 653.  A p paraméter hány különböző értékére van az

x2-y2=0

xy+px-py=p2

egyenletrendszernek pontosan egy megoldása?

C. 654.  fa, fb és fc jelölik egy a, b, c oldalú, T területű háromszög belső szögfelezőinek a hosszát. Igazoljuk, hogy

{f_a\cdot f_b\cdot f_c\over
abc}=4T\cdot{a+b+c\over(a+b)(b+c)(a+c)}.

Javasolta: Kovács Gabriella, Budapest


A B pontversenyben kitűzött feladatok

A B-jelű feladatokra kapható pontszám a feladatok nehézségétől függ. Minden hónapban a 6 legnagyobb pontszám számít be a pontversenybe.

B. 3502. Az ABC hegyesszögű háromszögben az AB átmérőjű félkör a C-ből induló magasságot C1-ben, a BC átmérőjű félkör az A-ból induló magasságot A1-ben metszi. Bizonyítsuk be, hogy BC1=BA1. (3 pont)

B. 3503. Adottak az a, b, c, d és f szakaszok. Tegyük fel, hogy létezik olyan négyszög, melynek egymást követő oldalai a, b, c, d, az a és c oldalak felezőpontját összekötő szakasz hossza pedig f. Szerkesszünk ilyen négyszöget. (4 pont)

B. 3504. Jelölje S(n) a tízes számrendszerben felírt n szám jegyeinek az összegét, Uk=11...1 pedig a k darab egyessel felírt számot. Keressük meg azokat a k értékeket, amelyekre S(Uk2)=(S(Uk))2. (4 pont)

B. 3505. Egy szabályos nyolcszöget paralelogrammákra osztunk fel. Bizonyítsuk be, hogy a paralelogrammák között van téglalap. (5 pont)

B. 3506. Az f polinomra teljesül, hogy f(x2+1)-f(x2-1)=4x2+6. Határozzuk meg az f(x2+1)-f(x2) polinomot. (4 pont)

B. 3507. Legyen f(x) egész együtthatós polinom, p és q pedig relatív prímek, qne0. Bizonyítsuk be, hogy ha p/q gyöke az f-nek, akkor f(k) minden k egészre osztható p-kq-val. Igaz-e az állítás megfordítása? (4 pont)

B. 3508. Az ABC és az A1B1C1 háromszögek tengelyesen tükrös helyzetűek. Húzzunk párhuzamost A1-en keresztül BC-vel, B1-en keresztül AC-vel, végül C1-en keresztül AB-vel. Bizonyítsuk be, hogy ez a három egyenes egy ponton halad át. (4 pont)

B. 3509. Bizonyítsuk be, hogy ha 0<x<{\pi\over2^{k+1}}, akkor

\(\displaystyle {1\over\sin2x}+{1\over\sin4x}+\dots+{1\over\sin2^kx}<\ctg x.\)

(3 pont)

Javasolta: Balogh János, Kaposvár

B. 3510. Az ABCD tetraéder csúcsain keresztül fektessünk a szemközti lapokkal párhuzamos síkokat. Ez a négy sík egy újabb tetraédert határoz meg. Bizonyítsuk be, hogy A, B, C és D az így kapott tetraéder lapjainak a súlypontjai. (3 pont)

B. 3511. Az a, b, c, d nemnegatív számokra ale1, a+ble5, a+b+cle14 és a+b+c+dle30. Bizonyítsuk be, hogy \sqrt a+\sqrt
b+\sqrt c+\sqrt d\leq10. (5 pont)


Az A pontversenyben kitűzött nehezebb feladatok

Minden A-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

A. 278. A P pont az ABCD téglalap AC átlójának C-n túli meghosszabbításán helyezkedik el úgy, hogy BPDszog=CBPszog. Határozzuk meg a PB:PC arányt.

A. 279. Léteznek-e olyan f és g racionális tört függvények, amelyekre

(f(x))3+(g(x))3=x?

A. 280. Tetszőleges n pozitív egész számra legyen

fn(vartheta)=sinvartheta.sin(2vartheta).sin(4vartheta).....sin(2nvartheta).

Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges vartheta valós szám és n pozitív egész esetén

|f_n(\vartheta)|<{2\over\sqrt3}\left|f_n\left({\pi\over3}\right)\right|.

IMC 8, Prága, 2001


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásai a következő címekre küldhetők:

    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518
illetve
    megoldas@komal.elte.hu (Az interneten keresztül történő beküldésről olvassa el tájékoztatónkat)

A beküldési határidő: 2002. január 15.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley