KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

Matematikából kitűzött gyakorlatok és feladatok
2003. január

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.


A C pontversenyben kitűzött gyakorlatok

Minden C-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

C. 700. Papírból kivágunk egy négyszög alakú lapot, ráírjuk üdvözlő sorainkat, majd sarkainál behajtjuk úgy, hogy a csúcsok egy közös pontba kerüljenek. Milyen négyszöget vágjunk ki, hogy a behajtott részek hézagmentesen és egymás átfedése nélkül takarják a négyszög többi részét?

C. 701. Mutassuk meg, hogy 1.2 .....1001+ 1002 .1003.....2002 osztható 2003-mal.

C. 702. Egy derékszögű háromszög hegyesszögei 60o és 30o. A háromszögbe két egyenlő sugarú kört írunk, amelyek érintik az átfogót, egymást és egy-egy befogót. Hányszorosa a kisebbik befogó a körök sugarának?

C. 703. A p valós paraméter értékétől függően hány gyöke van a

2x2-10px+7p-1=0

egyenletnek a (-1;1) intervallumban?

C. 704. Mely n természetes számokra igaz, hogy

log23 .log34 .log45 .....logn(n+1)=10?


A B pontversenyben kitűzött feladatok

A B-jelű feladatokra kapható pontszám a feladatok nehézségétől függ. Minden hónapban a 6 legnagyobb pontszám számít be a pontversenybe.

B. 3602. A négyzet alakú medencében úszkáló Jerry el szeretne menekülni a parton rá leső Tom elől. Tom nem tud úszni, lassabban fut, mint Jerry, viszont négyszer olyan gyorsan fut, mint ahogy Jerry úszik. Megmenekülhet-e mindig Jerry?

(5 pont)

B. 3603. Szerkesszünk adott háromszög belsejében olyan pontot, melynek a háromszög oldalegyeneseitől való távolságainak aránya 1:2:3.

(3 pont)

B. 3604. Az x, y valós számokra teljesül, hogy x+y=1. Határozzuk meg az A(x,y)=x4y+ xy4+ x3y+ xy3+ x2y+ xy2 kifejezés legnagyobb értékét.

(3 pont)

B. 3605. Az ABC háromszög CA oldalának A-n túli meghosszabbításán adott a D pont, a CB oldalának B-n túli meghosszabbításán pedig az E pont úgy, hogy AB=AD=BE. Az ABC háromszög A-ból és B-ből induló szögfelezői a szemközti oldalakat az A1 illetve a B1 pontokban metszik. Mekkora az ABC háromszög területe, ha a DCE háromszög területe 9 egység, az A1CB1 háromszög területe pedig 4 egység?

(3 pont)

Javasolta: Bakonyi Gábor, Budapest

B. 3606. Adjunk meg olyan a és b egész számokat, amelyekre teljesül, hogy 2003<a+b\sqrt2<2003{,}01.

(3 pont)

B. 3607. Egy konvex négyszög szemközti oldalegyenesei metszik egymást. Megrajzoljuk a metszéspontoknál keletkezett szögek belső szögfelezőit. Bizonyítsuk be, hogy a négyszög akkor és csak akkor húrnégyszög, ha e két szögfelező merőleges egymásra, és ebben az esetben a szögfelezők a négyszög oldalait egy rombusz csúcsaiban metszik.

(4 pont)

Javasolta: Rácz János, Budapest

B. 3608. Adjuk meg azoknak az a, b, c számoknak a tízes számrendszerbeli alakját, amelyekre az x3+ax2+bx+c=0 egyenlet gyökei rendre egyenlők az x3-3x+1=0 egyenlet három gyökének az ötödik hatványával.

(4 pont)

B. 3609. Van-e olyan f(x) egész együtthatós 2003-ad fokú polinom, amelyre bármely n egész szám esetén az

f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), ...

értékek páronként relatív prímek?

(5 pont)

B. 3610. Bizonyítsuk be, hogy

sin 25o.sin 35o.sin 60o.sin 85o=sin 20o.sin 40o.sin 75o.sin 80o.

(5 pont)

B. 3611. Az xn+1=xn2-xn+1 rekurzióval definiált sorozat elemeiből készítsük el a \sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{x_i} végtelen sort. Mennyi ennek a sornak az összege, ha ax1=1/2; bx1=2?

(5 pont)


Az A pontversenyben kitűzött nehezebb feladatok

Minden A-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

A. 308. Az A, B, C, D, E pontok úgy helyezkednek el a síkban, hogy AB=BC=CD=DA=1, és AE, BE, CE és DE mindegyike legfeljebb 1. Legfeljebb mekkora lehet AE+BE+CE+DE+AC+BD?

A. 309. Egy n csúcsú egyszerű gráfban a csúcsok fokszámai rendre 0<d1\le...\ledn. Bizonyítsuk be, hogy kiválasztható legalább \(\displaystyle \sum\frac{2}{d_i+1}\) csúcs úgy, hogy az általuk kifeszített részgráfban nincs kör.

A. 310. Legyen tetszőleges n pozitív egészre

\(\displaystyle s_n(x)=\sum_{d\mid n}\frac{n}{d}x^d,\)

és definiáljuk a p0,p1,... polinomokat a következő rekurzióval: p0(x)=1,

\(\displaystyle p_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^ns_k(x)p_{n-k}(x).\)

Igazoljuk, hogy a pn polinom mindegyik együtthatója egész szám.


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásai a következő címekre küldhetők:

    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518
illetve
    megoldas@komal.hu (Az interneten keresztül történő beküldésről olvassa el tájékoztatónkat)

A beküldési határidő: 2003. február 15.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley