Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem A. 579. (January 2013)

A. 579. The circle k1 is internally tangent to the circle k which is externally tangent to k2. The common external tangents of k1 and k2 are u and v. The line u is tangent to k1 and k2 at P and Q, respectively, and meets k at A and B in such a way that B lies between P and Q. Analogously, the line v is tangent to k1 and k2 at R and S, respectively, and meets k at C and D in such a way that D lies between R and S and k1 is tangent to that arc BD of k which does not contain A and C.

Show that


\frac {AB\cdot AD} {AP\cdot AQ} = \frac {CB\cdot CD} {CR\cdot CS} .

(5 pont)

Deadline expired on February 11, 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldásvázlat. Legyen az ABD és CBD háromszögek beírt köreinek középpontja IA, illetve IC, továbbá legyen ugyanezekben a háromszögekben a BD oldalhoz hozzáírt körök középpontja JA, illetve IC.

Lemma. A PR szakasz átmegy az IA és IC pontokon, továbbá a QS egyenes átmegy a JA és JC pontokon.

A lemma első fele (a beírt körökre vonatkozó állítás) Sawayama-lemma néven ismert. Egy-egy bizonyítása megtalálható például az A. 505. feladat megoldásában vagy itt vagy itt. Az Olvasóra bízzuk annak végiggondolását, hogy a bizonyításokat hogyan lehet átírni hozzáírt körökre.

Jól ismert (és például az ABIA és AJAD háromszögek hasonlóságából könnyen igazolható), hogy

AB.AD=AIA.AJA,

és ugyanígy

CB.CD=CIC.CJC.

Az AIAP, AJAQ, CICR és CJCS háromszögek hasonlók, mert PR és QS párhuzamos. Ezért


\dfrac{AI_A}{AP} = \dfrac{AJ_A}{AQ} =\dfrac{CI_C}{CR} = \dfrac{CJ_C}{CS}.

Így


\dfrac{AB\cdot AD}{AP\cdot AQ} =
\dfrac{AI_A\cdot AJ_A}{AP\cdot AQ} =
\dfrac{AI_A}{AP}\cdot\dfrac{AJ_A}{AQ} =
\dfrac{CI_C}{CR}\cdot\dfrac{CJ_C}{CS} =
\dfrac{CI_C\cdot CJ_C}{CR\cdot CS} =
\dfrac{CB\cdot CD}{CR\cdot CS}.


Statistics:

2 students sent a solution.
5 points:Cyril Letrouit.
3 points:1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2013