Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 3849. feladat (2005. október)

B. 3849. Egy szabályos érmét addig dobálunk, amíg legalább egyszer kapunk fejet is és írást is. Mennyi a dobások számának a várható értéke?

(5 pont)

A beküldési határidő 2005. november 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Legalább két dobásra van szükség. Ha i\ge2, akkor annak valószínűsége, hogy pontosan i dobásra van szükség, éppen 1/2i-1, a keresett várható érték tehát

E=\sum_{i=2}^\infty {i\over 2^{i-1}}.

Teljes indukcióval könnyen megmutatható, hogy i\ge4 esetén i<(8/5)i-1. A fenti csupa pozitív tagból álló végtelen sor tehát konvergens, hiszen felülről becsülhető a konvergens

1+{3\over 4}+\sum_{i=4}^\infty \Bigl({4\over 5}\Bigr)^{i-1}= 1+{3\over 4}+\Bigl({4\over 5}\Bigr)^3\cdot {1\over 1-{4\over 5}}

összeggel. Így E értékét kiszámolhatjuk a sor átrendezésével:

E=2\sum_{i=1}^\infty {1\over 2^i}+\sum_{i=2}^\infty \sum_{j=i}^\infty {1\over 2^j}= 2+\sum_{i=2}^\infty {1\over 2^{i-1}}=2+1=3.

Statisztika:

184 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:147 versenyző.
4 pontot kapott:3 versenyző.
3 pontot kapott:4 versenyző.
2 pontot kapott:6 versenyző.
1 pontot kapott:5 versenyző.
0 pontot kapott:19 versenyző.

A KöMaL 2005. októberi matematika feladatai