A B. 3850. feladat (2005. október)

B. 3850. Milyen határok közt változik egy egységnyi élű szabályos tetraéder téglalapmetszeteinek területe és kerülete?

(4 pont)

A beküldési határidő 2005. november 15-én LEJÁRT.

Megoldás: A téglalap csúcsai egy S síkon helyezkednek el, ez el kell hogy válassza a tetraéder két élét, mondjuk az AB és CD éleket. A téglalapnak az ABC háromszög lapra illeszkedő élével párhuzamos oldalának végpontjai az ABC síktól ugyanolyan távolságra helyezkednek el az AD illetve BD éleken. Ez csak úgy lehetséges, hogy ezen oldal végpontjai a D csúcstól egyenlő távolságra vannak, vagyis az oldal párhuzamos az AB egyenessel. Ugyanilyen alapon a téglalap másik oldalpárja a CD egyenessel kell legyen párhuzamos, az S sík tehát párhuzamos a kitérő AB és CD élekkel. Ebből következik, hogy ha a téglalap egyik oldala x (ez 0 és 1 között tetszőleges értéket felvehet), akkor másik oldala 1-x hosszúságú. A téglalap kerülete tehát mindenképpen 2 egységnyi.

A téglalap területe x(1-x). Az f(x)=x(1-x) függvény grafikonja egy lefelé nyitott parabola, mely az x tengelyt a (0,0) és (1,0) pontokban metszi, csúcsa pedig az (1/2,1/4) pontban van. A téglalap területe tehát tetszőleges olyan pozitív szám lehet, mely 1/4-nél nem nagyobb, a maximális 1/4 értéket pedig pontosan akkor veszi fel, ha az S sík az AB és CD élektől egyenlő távolságra halad.

Statisztika:

79 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	59 versenyző.
3 pontot kapott:	13 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.

A KöMaL 2005. októberi matematika feladatai