KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3899. (March 2006)

B. 3899. Is it possible for the product of four consecutive positive integers to be a perfect cube?

(5 pont)

Deadline expired on 18 April 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Legyen a négy szám növekvő sorrendben a,b,c,d. A számok közül a és c relatív prím b-hez, és (c,d)=1 is igaz, ha pedig a nem relatív prím d-hez, akkor (a,d)=3. Ezért az ac és bd számok vagy relatív prímek, vagy pedig 3 a legnagyobb közös osztójuk. Szorzatuk tehát csak úgy lehet köbszám, ha vagy mind a ketten köbszámok, vagy pedig egyikük egy köbszám 3-szorosa, másikuk pedig egy köbszám 9-szerese (ez utóbbi két esetben a és d 3-mal osztható). Tegyük fel, hogy ez a helyzet. A négy szám között található két egymást követő páralan szám, ezek nyilván egymáshoz relatív prímek. Tegyük fel, hogy a és c ez a két szám. Ha ac köbszám, akkor a és c is köbszám. Ha pedig ac egy köbszám 3-szorosa vagy 9-szerese, akkor a osztható 3-mal, c köbszám, a pedig egy köbszám 3-szorosa vagy 9-szerese. Láthatjuk, hogy c mindenképpen köbszám. Hasonló okoskodás mutatja, hogy ha a két páratlan szám b és d, akkor b mindenképpen köbszám.

Ha b köbszám, akkor a másik három szám szorzata, acd=(b-1)(b+1)(b+2)=b3+2b2-b-2 is köbszám. Azonban b\ge2 miatt 2b2>b+2, vagyis

b3<b3+2b2-b-2<b3+3b2+3b+1=(b+1)3.

Ekkor tehát acd két egymást követő köbszám közé esik, nem lehet köbszám, ami ellentmondás. Ha pedig c lenne köbszám, akkor abd=(c-2)(c-1)(c+1)=c3-2c2-c+2 is az lenne. Most c\ge3, vagyis c\ge8>3 miatt c2>4c-3, 3c2-3c+1>2c2+c-2, tehát

(c-1)3=c3-3c2+3c-1<c3-2c2-c+2<c3.

Most is ellentmondásra jutottunk, ami azt jelenti, hogy négy egymást követő pozitív egész szám szorzata soha nem lehet köbszám.


Statistics:

62 students sent a solution.
5 points:Almási 270 Gábor András, Csorba János, Dombi Soma, Győrffy Lajos, Honner Balázs, Horváth 385 Vanda, Károlyi Gergely, Károlyi Márton, Kovács 111 Péter, Kutas Péter, Mercz Béla, Mészáros Gábor, Milotai Zoltán, Móri Bálint, Müller Márk, Nagy 235 János, Pásztor Attila, Peregi Tamás, Pesti Veronika, Pirkó Dániel, Sárkány Lőrinc, Sommer Dániel, Sümegi Károly, Szalóki Dávid, Szilágyi 987 Csaba, Szirmai Péter, Szudi László, Tomon István, Tossenberger Anna, Udvari Balázs, Varga 171 László, Zieger Milán.
4 points:Németh 007 Zsolt, Szakács Nóra, Szórádi Márk, Szűcs Gergely.
3 points:6 students.
2 points:3 students.
1 point:8 students.
0 point:9 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley