Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3901. (March 2006)

B. 3901. What is the locus of those points in the plane where the tangents drawn to a given parabola enclose a 30o angle?

(5 pont)

Deadline expired on April 18, 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Az érintők metszéspontjából a parabola vagy 30, vagy 150 fokos szög alatt látszik. Mind a két esetet megvizsgáljuk. Mivel bármely két parabola hasonló, az egység alkalmas megválasztásával felvehetünk egy olyan derékszögű koordinátarendszert, amelyben az adott parabola egyenlete y=x2. Az (a,a2) pontban húzott érintő meredeksége 2a, ezért egyenlete y=2ax-a2. Ezt a (b,b2) pontban (b\nea) húzott érintő y=2bx-b2 egyenletével egybevetve kapjuk, hogy a két érintő az (x,y)=(\frac{a+b}{2},ab) pontban metszi egymást.

A két érintő iránytangensére tan \alpha=2a és tan \beta=2b. A két egyenes pontosan akkor zár be 30o-os szöget, ha

\pm\frac{1}{\sqrt{3}}=\tan(\pm 30^\circ)=\tan(\beta-\alpha)
=\frac{\tan\beta-\tan\alpha}{1+\tan\alpha\tan\beta}=
\frac{2b-2a}{1+4ab}.

Innen 12(a2+b2-2ab)=(1+4ab)2, vagyis 12(4x2-4y)=(1+4y)2. A keresett (x,y) pontok tehát kielégítik az

x^2-\frac{1}{3}\Bigl(y+\frac{7}{4}\Bigr)^2=-1

egyenletet, vagyis azon a hiperbolán helyezkednek el, amelynek szimmetriatengelyei az y tengely és az y=-7/4 egyenes, aszimptotái 60o-os szöget zárnak be egymással, továbbá az egyik ága teljes egészében az x tengely alatt van és az y tengelyt a (0,-\frac{7}{4}-\sqrt{3}) pontban metszi.

Ellenőrizhetjük (például folytonossági megfontolásokkal), hogy a hiperbola minden pontja megfelelő: az egyik (alsó) ágán lévő pontokból a parabola 30, a másik (felső) ágán lévő pontokból pedig 150 fokos szög alatt látszik.


Statistics:

48 students sent a solution.
5 points:Blázsik Zoltán, Bogár 560 Péter, Csató László, Cseh Ágnes, Cserép Gergely, Csizmadija Laura, Dányi Zsolt, Farkas Ádám László, Fegyverneki Tamás, Gyöngyösi Zsolt, Honner Balázs, Károlyi Márton, Komáromy Dani, Kornis Bence, Kornis Kristóf, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Kozma Márton, Kunovszki Péter, Kutas Péter, Mészáros Gábor, Nagy 235 János, Páldy Sándor, Pásztor Attila, Peregi Tamás, Szabó 108 Tamás, Szakács Nóra, Szalkai Balázs, Szalóki Dávid, Szilágyi 987 Csaba, Szűcs Gergely, Tomon István, Tossenberger Anna, Tóthmérész Lilla, Udvari Balázs, Varga 171 László, Véges Márton.
4 points:Csaba Ákos, Hülber Tímea, Nagy-Baló András, Priksz Ildikó, Ta Phuong Linh, Wolosz János.
3 points:3 students.
2 points:2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2006