A B. 3942. feladat

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 3942. Melyek azok a kétjegyű páros $\overline{ab}$ számok, amelyek ötödik hatványa $\overline{ab}$ -re végződik?

(Tanárképző főiskolák matematika versenye, 1973)

(3 pont)

A beküldési határidő LEJÁRT.

Megoldás. A binomiális tétel szerint

$(\overline{ab})^5=(10a+b)^5=(10a)^5+5(10a)^4b+10(10a)^3b^2+10(10a)^2b^3+ 5(10a)b^4+b^5.$

Itt az első négy tag nyilván osztható 100-zal, és az ötödik is, hiszen b páros szám. Tehát $(\overline{ab})^5$ utolsó két számjegye megegyezik b⁵ utolsó két számjegyével. Ha b 0 lenne, akkor innen a-ra is 0 adódna. Tehát b értéke 2,4,6 vagy 8 lehet, amikor is b⁵ utolsó két számjegye rendre 32, 24, 76, illetve 68, ezek lesznek tehát a megfelelő kétjegyű számok.

A B. 3942. feladat statisztikája

315 dolgozat érkezett.

3 pontot kapott: 225 versenyző.

2 pontot kapott: 41 versenyző.

1 pontot kapott: 27 versenyző.

0 pontot kapott: 11 versenyző.

Nem versenyszerű: 11 dolgozat.

A KöMaL 2006. novemberi matematika feladatai

Támogatóink:

ELTE