A B. 3966. feladat

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 3966. Egy iskolai sakkversenyen mindenki mindenkivel pontosan egyszer játszott. Minden játékos ugyanannyi pontot szerzett a lányok ellen, mint a fiúk ellen. Bizonyítsuk be, hogy a résztvevők száma négyzetszám. (Győzelemért 1; döntetlenért 0,5; vereségért 0 pont jár.)

(5 pont)

A beküldési határidő LEJÁRT.

Megoldás: Legyen a lányok száma L, a fiúké F. Jelölje továbbá $\ell$ , f, d a lányok és fiúk között lezajlott LF játék közül rendre azok számát, amelyek női győzelemmel, férfi győzelemmel, illetve döntetlennel végződtek. Mivel minden mérkőzésen összesen 1 pontot osztanak ki, LF= $\ell$ +f+d. A lányok egymás között $L\choose 2$ játékot játszottak, tehát a fiúk ellen is ennyi pontot szereztek összesen, vagyis ${L\choose 2}=\ell+\frac{d}{2}$ . Ugyanilyen alapon ${F\choose 2}=f+\frac{d}{2}$ . A három egyenlőséget összevetve kapjuk, hogy

${L\choose 2}+{F\choose 2}=LF,$

ahonnan L(L-1)+F(F-1)=2LF, vagyis L+F=L²-2LF+F²=(L-F)². A résztvevők száma, L+F tehát valóban négyzetszám.

A B. 3966. feladat statisztikája

86 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: 71 versenyző.

4 pontot kapott: 11 versenyző.

3 pontot kapott: 2 versenyző.

1 pontot kapott: 1 versenyző.

0 pontot kapott: 1 versenyző.

A KöMaL 2007. januári matematika feladatai

Támogatóink:

ELTE