KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
English Információ A lap Pontverseny Cikkekről Távoktatás Hírek Fórum Internetes Tesztverseny
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
A verseny állása
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

 

Rendelje meg a KöMaL-t!

Támogatóink:

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Reklám:

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 3966. Egy iskolai sakkversenyen mindenki mindenkivel pontosan egyszer játszott. Minden játékos ugyanannyi pontot szerzett a lányok ellen, mint a fiúk ellen. Bizonyítsuk be, hogy a résztvevők száma négyzetszám. (Győzelemért 1; döntetlenért 0,5; vereségért 0 pont jár.)

(5 pont)

A beküldési határid LEJÁRT.


Megoldás: Legyen a lányok száma L, a fiúké F. Jelölje továbbá \ellfd a lányok és fiúk között lezajlott LF játék közül rendre azok számát, amelyek női győzelemmel, férfi győzelemmel, illetve döntetlennel végződtek. Mivel minden mérkőzésen összesen 1 pontot osztanak ki, LF=\ell+f+d. A lányok egymás között L\choose 2 játékot játszottak, tehát a fiúk ellen is ennyi pontot szereztek összesen, vagyis {L\choose 2}=\ell+\frac{d}{2}. Ugyanilyen alapon {F\choose 2}=f+\frac{d}{2}. A három egyenlőséget összevetve kapjuk, hogy

{L\choose 2}+{F\choose 2}=LF,

ahonnan L(L-1)+F(F-1)=2LF, vagyis L+F=L2-2LF+F2=(L-F)2. A résztvevők száma, L+F tehát valóban négyzetszám.


A B. 3966. feladat statisztikája
86 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:71 versenyz .
4 pontot kapott:11 versenyz .
3 pontot kapott:2 versenyz .
1 pontot kapott:1 versenyz .
0 pontot kapott:1 versenyz .


  • A KöMaL 2007. januári matematika feladatai

  • Támogatóink:   Ericsson   Google   Szerencsejáték Zrt.   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet   ELTE   Nemzeti Tehetség Program   Nemzeti
Kulturális Alap