Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 3972. feladat (2007. február)

B. 3972. Bizonyítsuk be, hogy egy n pozitív egészhez pontosan akkor adható meg n darab egész szám úgy, hogy összegük 0, szorzatuk pedig n legyen, ha n osztható 4-gyel.

(3 pont)

A beküldési határidő 2007. március 19-én LEJÁRT.


Megoldás: Ha n páratlan, akkor a szorzatra vonatkozó feltétel miatt mindegyik szám páratlan kellene legyen, de páratlan sok páratlan szám összege nem lehet 0, lévén páratlan. Hasonlóképpen, ha n páros, de 4-gyel nem osztható, akkor a számok között pontosan egy párosnak kellene lennie, amiért is a számok összege ismét páratlan lenne. Ha n osztható 8-cal, akkor 1 darab 2-es, 1 darab \frac{n}{2}-es, \frac{n}{4}-2 darab 1-es és \frac{3n}{4} darab -1-es megfelelő lesz. Végül, ha n nem osztható 8-cal, de 4-gyel igen, akkor 1 darab -2-es, 1 darab \frac{n}{2}-es, \frac{n}{4} darab 1-es és \frac{3n}{4}-2 darab -1-es lesz megfelelő választás.


Statisztika:

138 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:51 versenyző.
2 pontot kapott:23 versenyző.
1 pontot kapott:50 versenyző.
0 pontot kapott:14 versenyző.

A KöMaL 2007. februári matematika feladatai