A B. 4055. feladat (2008. január)

B. 4055. Bizonyítsuk be, hogy minden n!-nál nem nagyobb pozitív egész szám felírható az n! legfeljebb n darab különböző osztójának összegeként.

(5 pont)

A beküldési határidő 2008. február 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Az állítás n=1-re nyilván igaz. A teljes indukciós bizonyításhoz tegyük fel, hogy n $\ge$ 2, és az állítást n helyett n-1 esetére már igazoltuk. Legyen 1 $\le$ k $\le$ n!. Ha k $\le$ n, akkor $k\mid n!$ , vagyis egy darab osztó összegeként előáll. Feltehetjük tehát, hogy n+1 $\le$ k $\le$ n!. Legyen k=nq+r, ahol 0 $\le$ r $\le$ n-1 és 1 $\le$ q $\le$ (n-1)!. Az indukciós feltevés miatt $q=d_1+\ldots+d_t$ , ahol t $\le$ n-1 és $d_1,d_2,\ldots,d_t$ az (n-1)! különböző osztói. Ekkor

$k=nd_1+nd_2+\ldots+nd_t+r,$

ahol $nd_1,nd_2,\ldots,nd_t$ az n! különböző osztói. Ezzel r=0 esetén a k számot az n! legfeljebb n-1 darab különböző osztójának összegeként írtuk fel, 1 $\le$ r $\le$ n-1 esetén pedig legfeljebb n darab különböző osztó összegeként, hiszen r nem egyezhet meg egyik nd_i számmal sem, lévén r<n $\le$ nd_i.

Statisztika:

50 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Ágoston Tamás, Bálint Dániel, Bencs 111 Ferenc, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Cséke Balázs, Csere Kálmán, Dinh Hoangthanh Attila, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Énekes Péter, Farkas Márton, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Gőgös Balázs, Grósz Dániel, Kalina Kende, Keresztfalvi Tibor, Kiss 243 Réka, Kovács 729 Gergely, Lajos Mátyás, Lovas Lia Izabella, Márki Róbert, Márkus Bence, Mészáros András, Misnyovszki Péter, Nagy 648 Donát, Nagy-Baló András, Németh Bence, Palincza Richárd, Somogyi Ákos, Szabó 895 Dávid, Szalkai Balázs, Szepesvári Dávid, Szigetvári Áron, Szőke Nóra, Tossenberger Anna, Tóth 369 László Márton, Tubak Dániel, Varga 171 László, Véges Márton, Wang Daqian, Zieger Milán.

4 pontot kapott: Kovács 999 Noémi, Tóth 222 Barnabás.

1 pontot kapott: 4 versenyző.

0 pontot kapott: 1 versenyző.

A KöMaL 2008. januári matematika feladatai

50 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ágoston Tamás, Bálint Dániel, Bencs 111 Ferenc, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Cséke Balázs, Csere Kálmán, Dinh Hoangthanh Attila, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Énekes Péter, Farkas Márton, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Gőgös Balázs, Grósz Dániel, Kalina Kende, Keresztfalvi Tibor, Kiss 243 Réka, Kovács 729 Gergely, Lajos Mátyás, Lovas Lia Izabella, Márki Róbert, Márkus Bence, Mészáros András, Misnyovszki Péter, Nagy 648 Donát, Nagy-Baló András, Németh Bence, Palincza Richárd, Somogyi Ákos, Szabó 895 Dávid, Szalkai Balázs, Szepesvári Dávid, Szigetvári Áron, Szőke Nóra, Tossenberger Anna, Tóth 369 László Márton, Tubak Dániel, Varga 171 László, Véges Márton, Wang Daqian, Zieger Milán.
4 pontot kapott:	Kovács 999 Noémi, Tóth 222 Barnabás.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?