A B. 4074. feladat (2008. március)

B. 4074. Adott a síkban egy C pont és egy kör. Legyen AB a kör tetszőleges átmérője. Mi az ABC háromszög magasságpontjának a mértani helye?

(4 pont)

A beküldési határidő 2008. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Ha C egybeesik a kör középpontjával, akkor a mértani hely üres, ha a körvonalra esik, akkor a mértani hely egyedül a C pontból áll. A továbbiakban tegyük fel, hogy a C pont c távolságra helyezkedik el az O középpontú r sugarú kör középpontjától, ahol 0<cr. Legyen D a C-nek a körre vonatkozó inverze, vagyis az OC félegyenesnek az a pontja, amely O-tól d=r²/c távolságra van. Tetszőleges P pontra jelölje az vektort p. Ha az ABC háromszög magasságpontát M jelöli, akkor m-a merőleges a c-b vektorra, m-b pedig merőleges a c-a vektorra. Mivel b=-a, a vektorok skaláris szorzatát használva ezt az

(m-a)(c+a)=0,  (m+a)(c-a)=0

összefüggésekkel fejezhetjük ki. Ezeket összeadva 2mc-2a²=0, ahonnan mc=a²=dc, vagyis (m-d)c=0. Az m-d vektor tehát merőleges a c vektorra, vagyis az M pont azon az e egyenesen helyezkedik el, amely merőleges az OC egyenesre és áthalad a D ponton.

Nem nehéz megmutatni, hogy az e egyenes minden pontja a mértani helyhez tartozik. Az e egyenes tetszőleges E pontját C-vel összekötve a körnek létezik pontosan egy EC-re merőleges átmérője. Mivel ez nem eshet az OC egyenesre, az átmérő végpontjait A-val, illetve B-vel jelölve olyan ABC háromszöghöz jutunk, amelynek M magasságpontja nem lehet más, mint az EC egyenes e-vel alkotott E metszéspontja.

Statisztika:

50 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Angyal Levente, Bencs 111 Ferenc, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Böőr Katalin, Csere Kálmán, Dinh Van Anh, Fonyó Dávid, Gele Viktória, Grósz Dániel, Huszár Kristóf, Keresztfalvi Tibor, Kiss 243 Réka, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Mezei Márk, Mihálykó Ágnes, Nagy 648 Donát, Nguyen Sy Bang, Perjési Gábor, Prok Tamás, Ratku Antal, Réti Dávid, Salát Zsófia, Somogyi Ákos, Szabó 895 Dávid, Szalkai Balázs, Tossenberger Anna, Varga 171 László, Véges Márton, Weisz Ágoston.
3 pontot kapott:	Aczél Gergely, Héricz Dalma, Lenger Dániel, Pacskó Levente, Szepesvári Dávid, Tóth Teodóra, Zieger Milán.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2008. márciusi matematika feladatai