Megoldás: Vezessük be az AB=a, BC=b, CD=c, DA=d, AC=e, BD=f jelöléseket. Ha a P pontot A-nak választjuk, akkor az e2=a2+d2 összefüggésre jutunk. Hasonlóképpen kapjuk az e2=b2+c2, a2+b2=f2 és d2+c2=f2 összefüggéseket a P=C, P=B, illetve P=D választással. Az első két összefüggés alapján a2-b2=c2-d2, a másik kettőből pedig a2+b2=c2+d2 következik. Mivel tetszőleges p,q esetén az x-y=p, x+y=q egyenletrendszer egyértelműen megoldható, innen a2=c2 és b2=d2 adódik, vagyis a=c, b=d. Az ABCD négyszög tehát paralelogramma kell legyen. Sőt, e2=b2+c2=b2+a2=f2 miatt e=f, vagyis a feltételek teljesülése esetén az ABCD négyszög csakis téglalap lehet.
A téglalapokra viszont minden P pont esetén teljesül a feltétel. Ha ugyanis a P pont távolságát az AB, BC, CD, DA egyenesektől rendre u,v,w és z jelöli, akkor a Pithagorasz tétel alapján
PA2+PC2=(u2+z2)+(v2+w2)=(u2+v2)+(w2+z2)=PB2+PD2.
| A B. 4106. feladat statisztikája | | 123 dolgozat érkezett. | |
| 4 pontot kapott: | 69 versenyző. |
| 3 pontot kapott: | 15 versenyző. |
| 2 pontot kapott: | 4 versenyző. |
| 1 pontot kapott: | 17 versenyző. |
| 0 pontot kapott: | 16 versenyző. |
| Nem versenyszerű: | 2 dolgozat. |
|
|
A KöMaL 2008. szeptemberi matematika feladatai
