KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
English Információ A lap Pontverseny Cikkekről Távoktatás Hírek Fórum Internetes Tesztverseny
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
A verseny állása
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

 

Rendelje meg a KöMaL-t!

Támogatóink:

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Reklám:

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4106. Melyek azok az ABCD síknégyszögek, melyekre e sík minden P pontja esetén

PA2+PC2=PB2+PD2

teljesül?

(4 pont)

A beküldési határid LEJÁRT.


Megoldás: Vezessük be az AB=a, BC=b, CD=c, DA=d, AC=e, BD=f jelöléseket. Ha a P pontot A-nak választjuk, akkor az e2=a2+d2 összefüggésre jutunk. Hasonlóképpen kapjuk az e2=b2+c2, a2+b2=f2 és d2+c2=f2 összefüggéseket a P=C, P=B, illetve P=D választással. Az első két összefüggés alapján a2-b2=c2-d2, a másik kettőből pedig a2+b2=c2+d2 következik. Mivel tetszőleges p,q esetén az x-y=p, x+y=q egyenletrendszer egyértelműen megoldható, innen a2=c2 és b2=d2 adódik, vagyis a=c, b=d. Az ABCD négyszög tehát paralelogramma kell legyen. Sőt, e2=b2+c2=b2+a2=f2 miatt e=f, vagyis a feltételek teljesülése esetén az ABCD négyszög csakis téglalap lehet.

A téglalapokra viszont minden P pont esetén teljesül a feltétel. Ha ugyanis a P pont távolságát az AB, BC, CD, DA egyenesektől rendre u,v,w és z jelöli, akkor a Pithagorasz tétel alapján

PA2+PC2=(u2+z2)+(v2+w2)=(u2+v2)+(w2+z2)=PB2+PD2.


A B. 4106. feladat statisztikája
123 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:69 versenyz .
3 pontot kapott:15 versenyz .
2 pontot kapott:4 versenyz .
1 pontot kapott:17 versenyz .
0 pontot kapott:16 versenyz .
Nem versenyszer :2 dolgozat.


  • A KöMaL 2008. szeptemberi matematika feladatai

  • Támogatóink:   Ericsson   Google   Szerencsejáték Zrt.   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet   ELTE   Nemzeti Tehetség Program   Nemzeti
Kulturális Alap