A B. 4145. feladat (2009. január)

B. 4145. Egy ABCD szimmetrikus trapéz hosszabbik alapja legfeljebb kétszerese a rövidebbiknek. Vegyünk fel egy P pontot a trapéz belsejében. Igazoljuk, hogy létezik olyan négyszög, amelynek csúcsai a trapéz oldalaira esnek és oldalainak hosszúsága valamilyen sorrendben AP, BP, CP és DP.

(5 pont)

A beküldési határidő 2009. február 16-án LEJÁRT.

Megoldás: Tegyük fel, hogy a hosszabbik alap AB. Húzzuk be a P ponton áthaladó, a szárakkal párhuzamos két egyenest. Ezek metszéspontját az AB alappal jelölje X és X' úgy, hogy a pontok sorrendje az AB egyenesen A,X,X',B legyen. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy AX $\le$ BX', és ekkor a feltétel miatt AX<AB/2 $\le$ CD. Ezért az AXZD paralelogramma Z csúcsa a CD oldal belső pontja lesz.

Ha a P pontot e paralelogramma középpontjára tükrözzük, akkor az AD szár egy olyan U pontját kapjuk, amelyre AP=UZ és DP=UX. A P pontot az XBCZ szimmetrikus trapéz tengelyére tükrözve pedig a BC szár egy Y pontját kapjuk, amelyre BP=XY és CP=ZY. Az XYZU négyszög ezek szerint a kívánalmaknak eleget tesz.

Statisztika:

54 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Ágoston Tamás, Bálint Dániel, Beke Lilla, Bicskei Dávid, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Botos Csongor, Böőr Katalin, Bősze Zsuzsanna, Cséke Balázs, Csizmadia Luca, Csuka Róbert, Éles András, Énekes Péter, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Győrfi 946 Mónika, Hajdók Soma, Horowitz Gábor, Huszár Kristóf, Janzer Olivér, Jéhn Zoltán, Kiss 902 Melinda Flóra, Kiss Boldizsár, Klenk 191 Blanka, Kovács 888 Adrienn, Lenger Dániel, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Mester Márton, Milánkovich Dorottya, Nagy 111 Miklós, Nagy 648 Donát, Nagy Róbert, Nagy-Baló András, Perjési Gábor, Popper Dávid, Somogyi Ákos, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Tóth Tekla, Tuan Nhat Le, Varga 171 László, Weimann Richárd, Weisz Ágoston, Weisz Gellért.

4 pontot kapott: Bágyoni-Szabó Attila, Nagy 729 Krisztina, Szenczi Zoltán.

3 pontot kapott: 3 versenyző.

0 pontot kapott: 1 versenyző.

Nem versenyszerű: 1 dolgozat.

A KöMaL 2009. januári matematika feladatai

54 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ágoston Tamás, Bálint Dániel, Beke Lilla, Bicskei Dávid, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Botos Csongor, Böőr Katalin, Bősze Zsuzsanna, Cséke Balázs, Csizmadia Luca, Csuka Róbert, Éles András, Énekes Péter, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Győrfi 946 Mónika, Hajdók Soma, Horowitz Gábor, Huszár Kristóf, Janzer Olivér, Jéhn Zoltán, Kiss 902 Melinda Flóra, Kiss Boldizsár, Klenk 191 Blanka, Kovács 888 Adrienn, Lenger Dániel, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Mester Márton, Milánkovich Dorottya, Nagy 111 Miklós, Nagy 648 Donát, Nagy Róbert, Nagy-Baló András, Perjési Gábor, Popper Dávid, Somogyi Ákos, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Tóth Tekla, Tuan Nhat Le, Varga 171 László, Weimann Richárd, Weisz Ágoston, Weisz Gellért.
4 pontot kapott:	Bágyoni-Szabó Attila, Nagy 729 Krisztina, Szenczi Zoltán.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?