A B. 4191. feladat

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4191. Mely a, b, c pozitív egész számok esetén igaz az, hogy 2^a-1 osztható b-vel, 2^b-1 osztható c-vel és 2^c-1 osztható a-val?

(5 pont)

A beküldési határidő LEJÁRT.

A feltételeket a=b=c=1 nyilván kielégíti. Megmutatjuk, hogy ezen

kívül a feladatnak nincsen más megoldása. Tegyük fel ugyanis,

hogy létezik olyan prímszám, amely az a,b,c számok közül

valamelyiknek osztója, és legyen p a lehető legkisebb ezek

közül. Az általánosság megszorítása nélkül feltehető,

hogy $p\mid a$ . Ekkor $p\mid 2^c-1$ is teljesül, vagyis $2^c\equiv 1\pmod{p}$ . Jelölje n a legkisebb olyan pozitív egész számot,

amelyre $2^n\equiv 1\pmod{p}$ teljesül. Ilyen szám tehát létezik, és

nyilván nagyobb, mint 1. A kis Fermat-tétel miatt $2^{p-1}\equiv 1\pmod{p}$ is fennáll. Nem nehéz megmutatni, hogy ha egy x pozitív

egész számra $2^x\equiv 1\pmod{p}$ teljesül, akkor x osztható kell

legyen n-nel. Ezért c és p-1 is osztható n-nel, tehát van

közös prímosztójuk. Ez azonban ellentmond p választásának.

A B. 4191. feladat statisztikája

24 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Ágoston Tamás, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Éles András, Huszár Kristóf, Kiss 902 Melinda Flóra, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Mester Márton, Nagy 648 Donát, Perjési Gábor, Somogyi Ákos, Varga 171 László.

4 pontot kapott: Dudás 002 Zsolt, Fonyó Dávid, Strenner Péter, Tuan Nhat Le, Weisz Ágoston.

3 pontot kapott: 1 versenyző.

1 pontot kapott: 1 versenyző.

0 pontot kapott: 3 versenyző.

Nem versenyszerű: 1 dolgozat.

A KöMaL 2009. májusi matematika feladatai

Támogatóink:

ELTE