A B. 4266. feladat (2010. április) |
B. 4266. Jelölje a1, a2, a3, a4 a Pascal-háromszög egyik sorának négy, egymás után következő elemét. Igazoljuk, hogy az
számok számtani sorozatot alkotnak.
(3 pont)
A beküldési határidő 2010. május 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Ha (a számozást 0-tól kezdve) a Pascal-háromszög \(\displaystyle n\)-edik sorában vesszük az egymást követő \(\displaystyle a={n\choose k}\) és \(\displaystyle b={n\choose k+1}\) elemeket, akkor
\(\displaystyle \frac{a}{a+b}=\frac{{n\choose k}}{{n\choose k}+{n\choose k+1}}= \frac{{n\choose k}}{{n+1\choose k+1}}=\frac{k+1}{n+1}.\)
Ezért ha \(\displaystyle a_{1}\), \(\displaystyle a_{2}\), \(\displaystyle a_{3}\), \(\displaystyle a_{4}\) a Pascal-háromszög \(\displaystyle n\)-edik sorának egymást követő elemei, akkor a szóban forgó három tört egy olyan 3-tagú számtani sorozatot alkot, amelynek differenciája \(\displaystyle \frac{1}{n+1}\).
Statisztika:
86 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 81 versenyző. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2010. áprilisi matematika feladatai