Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4436. (March 2012)

B. 4436. Let x, y, z denote positive integers, such that \frac{6841x-1}{9973}+\frac{9973y-1}{6841}=z. Prove that \frac{x}{9973}+\frac{y}{6841}>1.

(Suggested by J. Mészáros, Jóka)

(4 pont)

Deadline expired on April 10, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először belátjuk, hogy 6841 és 9973 relatív prímek. Valóban, ha a \(\displaystyle d\) pozitív egész szám mindkét számot osztja, akkor osztja a \(\displaystyle 9973-6841=3132\), a \(\displaystyle 6841-2\cdot 3132=577\), a \(\displaystyle 3132-5\cdot 577=247\), az \(\displaystyle 577-2\cdot 247=83\) és a \(\displaystyle 3\cdot 83-247=2\) számokat is, ahonnan már látszik, hogy \(\displaystyle d=1\).

Most általánosan belátjuk, hogy ha \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle q\) relatív prím pozitív egészek úgy, hogy \(\displaystyle \frac{px-1}{q}+\frac{qy-1}{p}\) egész szám, akkor \(\displaystyle \frac{x}{q}+\frac{y}{p}>1\). Először is, ha az \(\displaystyle a,b\) egész számokkal \(\displaystyle \frac{a}{q}+\frac{b}{p}=\frac{ap+bq}{pq}\) egész, akkor \(\displaystyle q\mid a\) és \(\displaystyle p\mid b\). Valóban, ha \(\displaystyle pq\mid ap+bq\), akkor \(\displaystyle p\mid ap+bq\), vagyis \(\displaystyle p\mid bq\). Mivel \(\displaystyle (p,q)=1\), innen \(\displaystyle p\mid b\) leolvasható. Ha pedig \(\displaystyle b/p\) egész, akkor \(\displaystyle a/q\)-nak is egésznek kell lennie.

Ennek alapján \(\displaystyle px-1=\alpha q\) és \(\displaystyle qy-1=\beta p\) teljesül alkalmas \(\displaystyle \alpha,\beta>0\) egész számokkal. Innen

\(\displaystyle (px)(qy)=(\alpha q+1)(\beta p+1)= \alpha\beta pq+\alpha q+\beta p+1\)

adódik, vagyis \(\displaystyle pq\mid \alpha q+\beta p+1\). Ebből következik, hogy \(\displaystyle \alpha q+\beta p+1\ge pq\), vagyis \(\displaystyle \alpha q+\beta p+2> pq\). Következésképpen

\(\displaystyle \frac{x}{q}+\frac{y}{p}=\frac{px+qy}{pq}= \frac{(\alpha q+1)+(\beta p+1)}{pq}>1.\)


Statistics:

56 students sent a solution.
4 points:Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Badacsonyi István András, Balogh Tamás, Bingler Arnold, Csernák Tamás, Di Giovanni Márk, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Gyarmati Máté, Havasi 0 Márton, Herczeg József, Homonnay Bálint, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Kiss 902 Melinda Flóra, Kovács-Deák Máté, Kúsz Ágnes, Leitereg András, Leitereg Miklós, Maga Balázs, Makk László, Medek Ákos, Mester Márton, Mezősi Máté, Mócsy Miklós, Nagy Anna Noémi, Nemes György, Ódor Gergely, Papp Roland, Sagmeister Ádám, Schultz Vera Magdolna, Schwarcz Tamás, Strenner Péter, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Szilágyi Krisztina, Tardos Jakab, Tossenberger Tamás, Viharos Andor, Weisz Ambrus, Zilahi Tamás.
3 points:Czipó Bence, Géczi Péter Attila, Mihálykó András, Nagy Róbert, Somogyvári Kristóf, Trócsányi Péter, Zsiros Ádám.
1 point:1 student.
0 point:5 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2012