Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 4455. feladat (2012. május)

B. 4455. Véges sok pozitív szám közül egyik sem nagyobb a többi összegénél. Igazoljuk, hogy két részre oszthatjuk őket úgy, hogy bármelyik részben a számok összege legfeljebb kétszer akkora, mint a másikban.

Erdős Pál (1913-1996) feladata

(3 pont)

A beküldési határidő 2012. június 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyenek a számok a_1\le a_2\le \ldots\le a_n, összegüket pedig jelölje s. A feltétel szerint an\les-an, tehát an\les/2. Legyen k a legnagyobb index, amelyre s_k=a_n+a_{n-1}+\ldots +a_k\ge s/3 teljesül. Ha k=n, akkor s/3\lesn=an<2s/3, ha pedig k<n, vagyis az összes szám kisebb, mint s/3, akkor s/3\lesk=sk+1+ak<s/3+s/3=2s/3. Ez pedig azt jelenti, hogy ha az egyik részbe az a_n,\ldots,a_k számokat tesszük, a többit pedig a másikba, akkor mindkét részben a számok összege s/3 és annak kétszerese közé fog esni, amiből az állítás leolvasható.


Statisztika:

56 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Árkos Gergely, Badacsonyi István András, Bingler Arnold, Csernák Tamás, Czipó Bence, Di Giovanni Márk, Emri Tamás, Énekes Tamás, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Gyarmati Máté, Havasi 0 Márton, Homonnay Bálint, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Jávorszky Natasa, Kabos Eszter, Katona Dániel, Kiss 902 Melinda Flóra, Leitereg András, Maga Balázs, Makk László, Mihálykó András, Mócsy Miklós, Mogyorósi Ferenc, Nagy Róbert, Papp Roland, Schultz Vera Magdolna, Schwarcz Tamás, Somogyvári Kristóf, Strenner Péter, Szabó 789 Barnabás, Talyigás Gergely, Viharos Andor, Weisz Ambrus, Zilahi Tamás, Zsiros Ádám.
2 pontot kapott:12 versenyző.
1 pontot kapott:1 versenyző.
0 pontot kapott:3 versenyző.

A KöMaL 2012. májusi matematika feladatai