Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4502. (January 2013)

B. 4502. There are 2013 discs in a sack, numbered from 1 to 2013. How many discs need to be drawn without replacement to be certain that there will be two among them with numbers that add up to a multiple of 7?

Suggested by D. Fülöp, Pécs

(3 pont)

Deadline expired on February 11, 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldási ötlet: Skatulyaelv.

 

Megoldás. Legyen H_r=\big\{x\in\{1,2,\ldots,2013\}:\, x\equiv r\pmod7\big\}. Mivel 2013=7.287+4, |H1|=|H2|=|H3|=|H4|=288, és |H5|=|H6|=|H0|=287.

Két egész szám összege akkor osztható 7-tel, ha mindkettő H0-ban van, vagy pedig az egyik a Hr, a másik pedig a H7-r halmazban van valamelyik r-re. Ha kiválasztjuk H1, H2, H3 összes elemét, és egy elemet H0-ból, ezek között biztosan nem lesz olyan pár, amelyek összege 7-tel osztható. Az ilyen módon kiválasztott elemek száma 3.288+1=865. Tehát lehetséges 865 korongot kiválasztani úgy, hogy ne legyen 7-tel osztható összegű pár.

Megfordítva, ha nincs 7-tel osztható összegű pár, akkor a H0 halmazból legfeljebb 1 elemet választottunk ki, továbbá minden egyes r=1,2,3-ra a Hr és H7-r halmazok valamelyikéből egyáltalán nem választottunk ki számot. Ezt jelenti, hogy a Hr\cupH7-r halmazból legfeljebb max (|Hr|,|H7-r|)=288 elemet választottunk ki, az összes kiválasztott elemek száma tehát legfeljebb 3.288+1=865. Másképpen fogalmazva, ha ennél több, azaz legalább 866 korongot választunk ki, akkor ezek között lesz két olyan, amelyek összege osztható 7-tel.

Tehát legalább 866-ot kell kiválasztanunk az 1,2,\ldots,2013 számok közül ahhoz, hogy biztosan osztható legyen 7-tel valamelyik kettő összege.


Statistics:

238 students sent a solution.
3 points:191 students.
2 points:33 students.
1 point:10 students.
0 point:4 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2013