Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4503. (January 2013)

B. 4503. Find all four-digit perfect squares in which the first two digits are equal and the last two digits are also equal.

(3 pont)

Deadline expired on February 11, 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldási ötlet: Alakítsuk szorzattá a számot.

 

Megoldás. Legyen a szám k2. Mivel a szám négyjegyű, 31^2<1\,000\le
k^2<10\,000=100^2, azaz 32\lek\le99. Ha a szám tízes számrendszerbeli alakja \overline{aabb}, akkor k2=11.(100a+b). Mivel a 11 prím, k osztható 11-gyel. Elég tehát a 32 és 99 közé eső, 11-gyel osztható számok négyzeteit megvizsgálnunk:


33^2=1\,089, \quad
44^2=1\,936, \quad
55^2=3\,025, \quad
66^2=4\,356,


77^2=5\,929, \quad
88^2=7\,744, \quad
99^2=9\,801.

Ezek közül csak a 7744 tízes számrendszerbeli alakja felel meg a feltételnek.


Statistics:

240 students sent a solution.
3 points:173 students.
2 points:47 students.
1 point:13 students.
0 point:7 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2013