 |
A B. 4632. feladat (2014. május) |
B. 4632. Két egyenes metszéspontja nem fért rá a papírlapra. Szerkesszük meg a papírlap egy adott pontján és a metszésponton átmenő egyenes papírlapra eső részét.
(3 pont)
A beküldési határidő 2014. június 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Az adott egyenes és a lap szélének a metszéspontjai legyenek \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\), a két egyenes metszéspontja \(\displaystyle M\), az adott pont pedig \(\displaystyle P\).
Alkalmazzunk az \(\displaystyle ABCD\) négyszögre egy \(\displaystyle P\) középpontú, \(\displaystyle \frac{1}{2}\) arányú kicsinyítést. Ezt könnyen megtehetjük, hiszen az \(\displaystyle AP\), \(\displaystyle BP\), \(\displaystyle CP\) és \(\displaystyle DP\) szakaszok \(\displaystyle A_{1}\), \(\displaystyle B_{1}\), \(\displaystyle C_{1}\) és \(\displaystyle D_{1}\) felezőpontjai a papírra esnek. Az \(\displaystyle A_{1}D_{1}\) és \(\displaystyle B_{1}C_{1}\) egyenesek metszéspontja adja az \(\displaystyle M\) pont képét, \(\displaystyle M_{1}\)-et, és \(\displaystyle P\), \(\displaystyle M_{1}\) és \(\displaystyle M\) egy egyenesen vannak. Tehát, ha az \(\displaystyle M_{1}\) pont a papírra esik, akkor a \(\displaystyle PM_{1}=PM\) egyenes megszerkeszthető. Ha \(\displaystyle M_{1}\) még nem esik a papírra, akkor folytathatjuk az eljárást az \(\displaystyle A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) négyszög \(\displaystyle P\) pontra vonatkozó, \(\displaystyle \frac{1}{2}\) arányú kicsinyítésével. Ha a keletkező \(\displaystyle M_{2}\) pont sem esik a papírra, akkor az eljárást mindaddig folytatjuk, amíg az \(\displaystyle M_{n}\) pont már a papírra fog esni. Ez véges lépésben elérhető. A keresett egyenes a \(\displaystyle PM_{n}\) lesz.
Győrfy-Bátori András (Kaposvári Táncsics Mihály Gimn., 12. évf.) dolgozata alapján
Statisztika:
89 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: Baran Zsuzsanna, Csernák Tamás, Csilling Tamás, Di Giovanni Márk, Fonyó Viktória, Győrfi-Bátori András, Hansel Soma, Janzer Orsolya Lili, Katona Dániel, Kovács 972 Márton, Mándoki Sára, Nagy Kartal, Nagy-György Pál, Radnai Bálint, Schwarcz Tamás, Szebellédi Márton, Tóth Viktor, Vágó Ákos, Vu Mai Phuong, Williams Kada. 2 pontot kapott: 41 versenyző. 1 pontot kapott: 24 versenyző. 0 pontot kapott: 4 versenyző.
A KöMaL 2014. májusi matematika feladatai