A B. 4871. feladat (2017. április)

B. 4871. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle a_n=1001001\ldots 1001\) szám (ahol \(\displaystyle n\) az 1-esek számát jelöli) nem lehet prímszám.

(3 pont)

A beküldési határidő 2017. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az \(\displaystyle a_n\) számot megkaphatjuk egy mértani sorozat első \(\displaystyle n\) tagjának összegeként:

\(\displaystyle a_n=1000^{n-1}+1000^{n-2}+\dots+1000^2+1000+1=\frac{1000^n-1}{999}.\)

Ha \(\displaystyle a_n=p\) egy prímszám, akkor az \(\displaystyle a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\) azonosságot használva:

\(\displaystyle 999p=1000^n-1=10^{3n}-1=(10^n-1)(10^{2n}+10^n+1).\)

Mivel \(\displaystyle p\) prímszám, ezért \(\displaystyle p\mid 10^n-1\) vagy \(\displaystyle p\mid 10^{2n}+10^n+1\), és így mindkét esetben \(\displaystyle p\leq 10^{2n}+10^n+1\). Ekkor viszont szükségképpen \(\displaystyle 10^n-1\leq 999\), vagyis \(\displaystyle n\leq 3\). Ezekben az esetekben \(\displaystyle a_n\) értéke és prímtényezős felbontása:

\(\displaystyle a_1=1,\)

\(\displaystyle a_2=1001=7\cdot 11\cdot 13,\)

\(\displaystyle a_3=1001001=3\cdot 333667.\)

Tehát \(\displaystyle a_n\) semmilyen \(\displaystyle n\) esetén nem lehet prímszám.

Statisztika:

52 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Busa 423 Máté, Csuha Boglárka, Daróczi Sándor, Deák Bence, Döbröntei Dávid Bence, Dömsödi Bálint, Fuisz Gábor, Fülöp Anna Tácia, Füstös Gergely, Győrffy Ágoston, György Levente, Jánosik Áron, Kerekes Anna, Kocsis Anett, Kocsis Júlia, Kővári Péter Viktor, Lajkó Áron, Lakatos Ádám, Laki 37 Dániel, Nagy 555 Botond, Noszály Áron, Páli Petra, Póta Balázs, Saár Patrik, Scheidler Barnabás, Szabó 417 Dávid, Szécsényi Nándor, Szemerédi Levente, Tiderenczl Dániel, Tiszay Ádám, Török Tímea, Tran 444 Ádám, Tubak Dániel, Vári-Kakas Andor, Várkonyi Dorka, Williams Hajna.
2 pontot kapott:	Al-Sayyed Zakariás, Ardai István Tamás, Berghammer Anna, Farkas Réka Boglárka, Fekete Balázs Attila, Füredi Erik Benjámin, Geretovszky Anna, Kovács 526 Tamás, Lukács Lilla Réka, Mikulás Zsófia, Olosz Adél, Riedel Zsuzsanna, Tóth-Rohonyi Iván.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2017. áprilisi matematika feladatai