A C. 1079. feladat (2011. április)

C. 1079. Pezsgőspoharunk csonkakúp alakú, az alapkör sugara 1 cm, a fedőkör sugara 4 cm, a magassága 6 cm (lásd az ábrát). Milyen magasságig kell tölteni a poharat, ha egy fél pohár italt szeretnénk inni?

(5 pont)

A beküldési határidő 2011. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Egészítsük ki a poharat adó csonkakúpot kúppá, ennek keresztmetszete látható az ábrán. A csonkakúpot kúppá egy olyan kúppal egészítettük ki, mely alapkörének sugara 1cm, magassága \(\displaystyle x\), térfogatát jelöljük \(\displaystyle V_1\)-gyel. Töltsük \(\displaystyle m\) magasságig a poharat pezsgővel. A kiegészítő kúp és a poharat tartalmazó kúp hasonlóak, a hasonlóság aránya 1:4, így a magasságaikra \(\displaystyle x:(6+x)=1:4\), ahonnan \(\displaystyle x=2\)(cm); a pezsgővel töltött pohárrészre a (kúpok) hasonlóságból pedig \(\displaystyle r:1=(m+2):2\). A pohár űrtartalma \(\displaystyle V_0=\frac 13 \pi(4^2\cdot 8-1^2 \cdot 2)=42\pi (cm^3)\). A feladat szerint \(\displaystyle 21\pi (cm^3)\) pezsgőt töltöttünk: \(\displaystyle 21\pi (cm^3)=\frac 13 \pi \left((\frac{m+2}2)^2 \cdot (m+2) -1^2 \cdot 2\right)\), ahonnan \(\displaystyle m\approx 4,38\)(cm).

Statisztika:

135 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	78 versenyző.
4 pontot kapott:	25 versenyző.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	17 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2011. áprilisi matematika feladatai