KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
English Információ A lap Pontverseny Cikkekről Távoktatás Hírek Fórum Internetes Tesztverseny
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
A verseny állása
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

 

Rendelje meg a KöMaL-t!

Támogatóink:

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Reklám:

KöMaL Füzetek 1: Tálalási javaslatok matematika felvételire

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1105. Rajzoltunk két szabályos sokszöget. Az egyiknek pirosra festettük az oldalait és zöldre az átlóit, a másiknak pedig zöldre festettük az oldalait és pirosra az átlóit. A piros szakaszok száma 103, a zöld szakaszoké 80. Hány oldala van a sokszögeknek?

(5 pont)

A beküldési határid LEJÁRT.


Megoldás. A sokszögek oldalszáma legyen &tex;\displaystyle n&xet; és &tex;\displaystyle m&xet;, akkor az átlók száma &tex;\displaystyle \frac{n(n-3)}{2}&xet; és &tex;\displaystyle \frac{m(m-3)}{2}&xet;. A piros szakaszok száma &tex;\displaystyle n+\frac{m(m-3)}{2}=103&xet;, a zöld szakaszok száma &tex;\displaystyle m+\frac{n(n-3)}{2}=80&xet;. A két egyenlet különbségéből &tex;\displaystyle n-m+\frac{m^2-n^2+3(n-m)}{2}=23&xet;, ami szorzattá alakítható: &tex;\displaystyle (m-n)(m+n-5)=46&xet;. Mivel &tex;\displaystyle m+n>5&xet;, ezért &tex;\displaystyle m-n>0&xet;; a piros szakaszok hosszából kaphatunk becslést &tex;\displaystyle m&xet;-re: &tex;\displaystyle (m-2)^2<206&xet;, azaz &tex;\displaystyle m<17&xet;; illetve a zöld szakaszok számából &tex;\displaystyle n&xet;-re: &tex;\displaystyle (n-2)^2<160&xet;, azaz &tex;\displaystyle n<13&xet; egészek, ezért &tex;\displaystyle m+n-5<25&xet; és &tex;\displaystyle m-n<14&xet;. 46 szorzattá bontásából &tex;\displaystyle m+n-5=23&xet; és &tex;\displaystyle m-n=2&xet; lehet. Az egyenletrendszert megoldva &tex;\displaystyle m=15&xet; és &tex;\displaystyle n=13&xet;. Az egyik sokszög 15 oldalú, a másik 13 oldalú.


A C. 1105. feladat statisztikája
301 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:132 versenyz .
4 pontot kapott:68 versenyz .
3 pontot kapott:29 versenyz .
2 pontot kapott:39 versenyz .
1 pontot kapott:17 versenyz .
0 pontot kapott:8 versenyz .
Nem versenyszer :8 dolgozat.


  • A KöMaL 2012. januári matematika feladatai

  • Támogatóink:   Ericsson   Google   Szerencsejáték Zrt.   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet   ELTE   Nemzeti Tehetség Program   Nemzeti
Kulturális Alap