Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1106. feladat (2012. január)

C. 1106. Hány zérushelye van az a paramétertől függően az

f(x)=\left\{\matrix{ \sqrt{x^2 + 4x +4}-a, & {\rm ha \ } x\le 0, \cr x^2-4x+a, & {\rm ha \ } x>0 \cr }\right.

hozzárendeléssel megadott függvénynek?

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás.

\(\displaystyle \sqrt{x^2 + 4x +4}-a=\sqrt{(x+2)^2}-a=|x+2|-a=\)

\(\displaystyle x^2-4x+a=(x-2)^2-4+a\), ha \(\displaystyle x>0\).

Tehát

Ábrázoljuk a függvényt \(\displaystyle a=0\) esetén:

Nézzük meg \(\displaystyle f(x)\) zérushelyeinek számát \(\displaystyle a\) paramétertől függően az \(\displaystyle x\leq0\), illetve az \(\displaystyle x>0\) intervallumon.

A függvény képe az \(\displaystyle x\leq0\) intervallumon \(\displaystyle a\) paraméterrel az \(\displaystyle y\) tengely mentén lefelé, míg az \(\displaystyle x>0\) intervallumon \(\displaystyle a\) paraméterrel felfelé tolódik.

\(\displaystyle a\) értéke zérushelyek száma az \(\displaystyle x\leq0\) intervallumon
\(\displaystyle a<0\) \(\displaystyle 0\)
\(\displaystyle a=0\) 1
\(\displaystyle 0<a\leq2\) 2
\(\displaystyle a>2\) 1
\(\displaystyle a\) értéke zérushelyek száma az \(\displaystyle x>0\) intervallumon
\(\displaystyle a\leq0\) \(\displaystyle 1\)
\(\displaystyle 0<a<4\) 2
\(\displaystyle a=4\) 1
\(\displaystyle a>4\) 0

A két táblázat alapján a zérushelyek száma \(\displaystyle a\) paramétertől függően:

\(\displaystyle a\) értéke zérushelyek száma az \(\displaystyle x>0\) intervallumon
\(\displaystyle a\leq0\) \(\displaystyle 1\)
\(\displaystyle a=0\) \(\displaystyle 2\)
\(\displaystyle 0<a\leq2\) 4
\(\displaystyle 2<a<4\) 3
\(\displaystyle a=4\) 2
\(\displaystyle a>4\) 1

Rónai Máté (Kőszeg, Jurisich Miklós Gimn., 11. o. t.)

Statisztika:

274 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:169 versenyző.
4 pontot kapott:46 versenyző.
3 pontot kapott:33 versenyző.
2 pontot kapott:9 versenyző.
1 pontot kapott:8 versenyző.
0 pontot kapott:5 versenyző.
Nem versenyszerű:4 dolgozat.

A KöMaL 2012. januári matematika feladatai