English Információ A lap Pontverseny Cikkek Hírek Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1151. An arbitrary interior point P of a convex quadrilateral ABCD is connected to the midpoints E, F, G, H of the sides AB, BC, CD, DA, respectively. Prove that the sum of the areas of the quadrilaterals AEPH and CGPF is equal to the sum of the areas of the quadrilaterals BFPE and DHPG. (Any of them may be a degenerate quadrilateral.)

Suggested by R. Gyimesi, Budapest

(5 points)

Deadline expired on 11 February 2013.

Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. A $\displaystyle P$ pontot kössük össze a négyszög csúcsaival és az oldalak felezőpontjával. Ekkor nyolc háromszöget kapunk. Mivel az $\displaystyle ABP$, a $\displaystyle BCP$, a $\displaystyle CDP$ és a $\displaystyle DAP$ háromszögben $\displaystyle PE$, $\displaystyle PF$, $\displaystyle PG$ és $\displaystyle PH$ súlyvonalak, ezért két-két megfelelő háromszög területe egyenlő.

Ezt felhasználva:

$\displaystyle t_{AEPH}+t_{CGPF}=(t_1+t_4)+(t_3+t_2)=(t_2+t_1)+(t_4+t_3)=t_{BFPE}+t_{DHPG}.$

Statistics on problem C. 1151.
 224 students sent a solution. 5 points: 154 students. 4 points: 43 students. 3 points: 10 students. 2 points: 7 students. 1 point: 3 students. 0 point: 3 students. Unfair, not evaluated: 2 solutions. Unfair, not evaluated: 2 solutions.

• Problems in Mathematics of KöMaL, January 2013

•  Támogatóink: Morgan Stanley