Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 1152. (January 2013)

C. 1152. Let f(x)= \left|x+ \frac 32\right|- \frac 32 and let

Find the zeros of f-g.

(5 pont)

Deadline expired on February 11, 2013.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. I.) Ha \(\displaystyle x\geq -3/2\), akkor \(\displaystyle f(x)=x+3/2-3/2=x\). Ekkor 3 eset van.

1.) \(\displaystyle -3/2\leq x<-1\). Ekkor az egyenlet:

\(\displaystyle x=\sqrt{-x-1}.\)

A bal oldal negatív, a jobb oldal nem, ezért nincs megoldás.

2.) \(\displaystyle -1\leq x<1\). Ekkor az egyenlet:

\(\displaystyle x=-\sqrt{1-x^2}.\)

Mivel a jobb oldal legfeljebb 0, ezért \(\displaystyle -1\leq x\leq0\). Négyzetre emelve, majd rendezve:

\(\displaystyle x^2=1-x^2,\)

\(\displaystyle 2x^2-1=0.\)

Ennek megoldása \(\displaystyle \pm\sqrt2/2\), ebből csak az egyik nem pozitív: \(\displaystyle x_1=-\sqrt2/2\).

3.) \(\displaystyle x\geq1\). Az egyenlet: \(\displaystyle x=\sqrt{x-1}\). Négyzetre emelve: \(\displaystyle x^2=x-1\), amiből \(\displaystyle 0=x^2-x+1=(x-1/2)^2+3/4\), ami lehetetlen.

II.) Ha \(\displaystyle x<-3/2\), akkor \(\displaystyle f(x)=-x-3/2-3/2=-x-3\). Ekkor az egyenlet:

\(\displaystyle -x-3=\sqrt{-x-1}.\)

Négyzetre emelve és rendezve:

\(\displaystyle x^2+6x+9=-x-1,\)

\(\displaystyle x^2+7x+10=(x+2)(x+5)=0.\)

A két gyök közül csak az egyik kisebb -3/2-nél: \(\displaystyle x_2=-5\).


240 students sent a solution.
5 points:119 students.
4 points:77 students.
3 points:15 students.
2 points:6 students.
1 point:14 students.
0 point:7 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2013