KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1153. (January 2013)

C. 1153. A square of unit diagonal is cut along one of the diagonals, and the two parts are moved towards each other along the line of the other diagonal. What is the maximum possible area of the overlapping region?

(5 pont)

Deadline expired on 11 February 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Egy egységnyi átlójú négyzet területe 1/2. Az \(\displaystyle ABCD\) négyzetet a \(\displaystyle BD\) átlója mentén kettévágva, az \(\displaystyle ABD\) háromszöget az \(\displaystyle A'B'D'\) háromszögbe toljuk el. Jelölje a \(\displaystyle DE\) szakasz hosszát \(\displaystyle y>0\). Ha \(\displaystyle y=DC/2\), akkor a közös rész pont a négyzet negyede, vagyis területe \(\displaystyle 1/8\). Ha még tovább toljuk a háromszöget, vagyis \(\displaystyle y>DC/2\), akkor a közös rész területe ennél kisebb lesz. Legyen \(\displaystyle y<DC/2\).

Az eltolás miatt ekkor \(\displaystyle HB'=DE=y\). Mivel a \(\displaystyle DEF\) és a \(\displaystyle HB'J\) háromszögek derékszögűek, és két másik szögük \(\displaystyle 45^{\circ}\)-os, ezért egyenlő szárúak, és így \(\displaystyle EF=HJ=y\). A szimmetria miatt ekkor \(\displaystyle EI=HJ=y\). Az \(\displaystyle AC\)-re való szimmetria miatt ekkor \(\displaystyle EI=HJ=y\) és \(\displaystyle GH=FE=y\).

Legyen az \(\displaystyle A'F\) szakasz hossza \(\displaystyle x\). Ekkor a fentiekhez hasonlóan \(\displaystyle A'G=x\) is teljesül. Vagyis \(\displaystyle A'B'=x+y+y=x+2y\). Mivel \(\displaystyle A'B'=DC\), így \(\displaystyle DC=x+2y\), amiből \(\displaystyle IC=x\).

Most már felírhatjuk a kérdéses területet. Ehhez felhasználjuk, hogy a négyzet oldalának hossza \(\displaystyle \frac{\sqrt2}{2}=x+2y\), amiből \(\displaystyle y=\frac{\sqrt2}{4}-\frac x2\).

\(\displaystyle t=t_{BCD}-t_{IJC}-2\cdot t_{DEF}=\frac14-\frac{x^2}{2}-2\cdot\frac{y^2}{2}=\)

\(\displaystyle =\frac14-\frac{x^2}{2}-\left(\frac{\sqrt2}{4}-\frac x2\right)^2=-\frac34x^2+\frac{\sqrt2}{4}x+\frac18=\)

\(\displaystyle =-\frac34\left(\left(x-\frac{\sqrt2}{6}\right)^2-\frac{8}{36}\right).\)

Tehát a terület \(\displaystyle x=\frac{\sqrt2}{6}\) esetén lesz a legnagyobb, értéke ekkor \(\displaystyle -\frac34\cdot\left(-\frac{8}{36}\right)=\frac16\).


Statistics:

178 students sent a solution.
5 points:92 students.
4 points:29 students.
3 points:8 students.
2 points:9 students.
1 point:18 students.
0 point:20 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley