A C. 1305. feladat (2015. szeptember)

C. 1305. Egy \(\displaystyle n\) egység oldalú négyzetből spirált készítünk az ábrán látható módon úgy, hogy a négyzet csúcsából indulva, befelé haladva mindig egy egységgel azelőtt törjük meg a vonalat, minthogy az belemetszene a spirál már meglévő részébe. Hasonló módon az \(\displaystyle 1{,}8n\) egység oldalú szabályos háromszögből képzett spirálnál a metszéspontot mindig \(\displaystyle 1{,}8\) egységgel előzzük meg. (Az ábra \(\displaystyle n=4\) esetén mutatja a két spirált.) Milyen \(\displaystyle n\) érték mellett lesz a két spirál hossza megegyező?

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. október 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Az \(\displaystyle n\) egység oldalú négyzetből készült spirál ,,oldalainak" hossza belülről kifelé haladva sorban \(\displaystyle 1,\, 1,\, 2,\, 2,\, 3,\, 3,\, \dots,\, n-1,\, n-1,\, n,\, n,\, n\). Ezek összege: \(\displaystyle 2\cdot(1+2+\dots+n)+n=2\cdot\frac{(1+n)n}{2}+n=n^2+2n\).

Az \(\displaystyle 1{,}8n\) egység oldalú szabályos háromszögből készült spirál oldalainak hossza pedig rendre \(\displaystyle 1,8;\, 2\cdot1,8;\, 3\cdot1,8;\, \dots;\, (n-1)\cdot1,8;\, n\cdot1,8;\, n\cdot1,8\). Ezek összege: \(\displaystyle 1,8(1+2+\dots+n)+1,8n=1,8\cdot\frac{n(n+1)}{2}+1,8n=0,9n^2+0,9n+1,8n\).

Ha a kettő egyenlő:

\(\displaystyle n^2+2n=0,9n^2+0,9n+1,8n,\)

amiből

\(\displaystyle 0,1^2-0,7n=0.\)

Ezt 10-zel szorozva, majd szorzattá bontva:

\(\displaystyle n^2-7n=n(n-7)=0.\)

Ennek egyetlen pozitív megoldása az \(\displaystyle n=7\).

Tehát \(\displaystyle n=7\) esetén lesz a két sprirál hossza megegyező.

Statisztika:

250 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	102 versenyző.
4 pontot kapott:	61 versenyző.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	58 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.

A KöMaL 2015. szeptemberi matematika feladatai