A C. 1318. feladat (2015. november)

C. 1318. Az 518 számnak van egy érdekes tulajdonsága. Képezzük azt a hat darab háromjegyű számot, amelyek számjegyei az 518 számjegyeinek különböző permutációi. Az így kapott számok átlaga éppen 518. Keressük meg az ilyen tulajdonságú különböző számjegyekből álló háromjegyű számokat.

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. \(\displaystyle \frac16(\overline{abc}+\overline{acb}+\overline{bac}+\overline{bca} +\overline{cab}+\overline{cba})=\frac{222}{6}(a+b+c)=\overline{abc}\), ahol \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c>0\). Ebből

\(\displaystyle 37(a+b+c)=100a+10b+c,\)

\(\displaystyle 27b+36c=63a,\)

\(\displaystyle 3b+4c=7a.\)

Innen a \(\displaystyle b\)-t kifejezve:

\(\displaystyle b=\frac{7a-4c}{3}=\frac{6a-3c}{3}+\frac{a-c}{3}=2a-c+\frac{a-c}{3}.\)

Mivel \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle 2a-c\) is egész, így \(\displaystyle \frac{a-c}{3}\) is az, vagyis \(\displaystyle 3|a-c\).

Ha \(\displaystyle a=c\), akkor abból \(\displaystyle b=a\) is következik, vagyis ekkor nem különböznek egymástól a számjegyek. Tehát \(\displaystyle a\neq c\).

Ha \(\displaystyle a=1\) és \(\displaystyle c=4\), akkor \(\displaystyle b<0\) lenne. Így \(\displaystyle c=7\) sem lehet.

Ha \(\displaystyle a=2\), akkor \(\displaystyle c=5\), de ekkor \(\displaystyle b<0\). Tehát itt sem kell megnézni a többi esetet.

Végignézve a lehetséges eseteket, a következő megoldásokat kapjuk: 481, 518, 592, 629.

Statisztika:

209 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	81 versenyző.
4 pontot kapott:	47 versenyző.
3 pontot kapott:	16 versenyző.
2 pontot kapott:	26 versenyző.
1 pontot kapott:	25 versenyző.
0 pontot kapott:	13 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2015. novemberi matematika feladatai