 |
A C. 1319. feladat (2015. november) |
C. 1319. Egy négyszög oldalfelező pontjai egy négyzet csúcsait alkotják. A négyszög területe 50, két szemközti oldala 5 és \(\displaystyle \sqrt{85}\). Mekkora a másik két oldal?
(5 pont)
A beküldési határidő 2015. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Tekintsük az \(\displaystyle ABCD\) négyszög oldalfelező pontjai által meghatározott \(\displaystyle EFGH\) négyszöget.
Az \(\displaystyle ABD\) háromszögben \(\displaystyle EH\) középvonal, így párhuzamos \(\displaystyle BD\)-vel, és feleakkora. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben \(\displaystyle EF\) középvonal, így \(\displaystyle AC||EF\) és \(\displaystyle AC=2EF\). Mivel \(\displaystyle EFGH\) négyzet, oldalai merőlegesek egymásra és egyenlő hosszúak, így a \(\displaystyle BD\) és \(\displaystyle AC\) átlók is merőlegesek egymásra és egyenlő hosszúak.
Ha az \(\displaystyle ABCD\) négyszög csúcsain át párhuzamosokat húzunk az átlókkal, akkor egy téglalapot kapunk, melynek területe az átlók szorzatával egyenlő.
A felbontásból látható, hogy ez a terület a négyszög területének kétszerese, vagyis az átlók szorzata 100, és így az átlók hossza 10.
Az átlók metszéspontját jelölje \(\displaystyle M\), legyen \(\displaystyle AM=x\) és \(\displaystyle DM=y\). Ekkor \(\displaystyle MC=10-x\) és \(\displaystyle MB=10-y\).
Az \(\displaystyle AMD\) derékszögű háromszögben a Pitagorasz-tételt felírva:
| \(\displaystyle x^2+y^2=25.\) | (1) |
Írjuk fel a Pitagorasz-tételt az \(\displaystyle MBC\) derékszögű háromszögre is:
\(\displaystyle (10-x)^2+(10-y)^2=85,\)
\(\displaystyle x^2+y^2+200-20x-20y=85.\)
Felhasználva (1)-et:
\(\displaystyle 25+200-85=20(x+y),\)
amiből
\(\displaystyle 7=x+y,\)
és így
\(\displaystyle y=7-x.\)
Ezt behelyettesítve (1)-be:
\(\displaystyle x^2+(7-x)^2=25,\)
\(\displaystyle 2x^2-14x+24=0,\)
\(\displaystyle x^2-7x+12=0,\)
\(\displaystyle (x-3)(x-4)=0.\)
Vagyis \(\displaystyle x=3\) és \(\displaystyle y=4\) vagy fordítva, de ez ugyanazt a megoldást adja a másik két oldalra. Ismét a Pitagorasz tételt használjuk:
\(\displaystyle a=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt5,\)
\(\displaystyle c=\sqrt{4^2+7^2}=\sqrt{65}.\)
Statisztika:
128 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 69 versenyző. 4 pontot kapott: 19 versenyző. 3 pontot kapott: 5 versenyző. 2 pontot kapott: 5 versenyző. 1 pontot kapott: 6 versenyző. 0 pontot kapott: 23 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2015. novemberi matematika feladatai