A C. 1345. feladat (2016. március)

C. 1345. Az első \(\displaystyle 3^n\) darab pozitív egész szám közül hány áll elő a 3 különböző hatványainak összegeként?

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. április 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Az első \(\displaystyle 3^n\) darab pozitív egész szám közül, azoknak a számát keressük, melyek felírhatók a 3-as alap legalább két különböző hatványának összegeként. A \(\displaystyle 3^n\) nem írható fel így. Az első \(\displaystyle 3^n-1\) számot hármas számrendszerben maximum \(\displaystyle n\) jegyű számként írhatjuk fel, mert az első helyiérték \(\displaystyle 3^0=1\). Azokat a hármas számrendszerben felírt számokat keressük, melyek legalább két 1-es számjegyet tartalmaznak és nincs bennük 2-es számjegy.

A 0 és 1-es számjegyek felhasználásával \(\displaystyle n\) darab számjeggyel \(\displaystyle 2^n-1\)-féle pozitív égész számot írhatunk fel. Ezekből el kell hagynunk azokat, melyek csak egy db 1-es számjegyet tartalmaznak, ezekből \(\displaystyle n\) db van. Vagyis \(\displaystyle 2^n-n-1\)-féle olyan számot írhatunk fel, ami legfeljebb \(\displaystyle n\) jegyű és legalább két 1-es számjegyet tartalmaz.

Tehát az első \(\displaystyle 3^n\) darab pozitív egész szám közül \(\displaystyle 2^n-n-1\) olyan van, mely előállítható a 3 különböző hatványainak összegeként.

Statisztika:

110 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bukor Benedek, Csider Márk, Csorba Benjámin, Édes Lili, Földvári Benedek, Hegedűs Marcell, Karácsony Márton, Kasó Ferenc, Kormányos Hanna Rebeka, Malák Péter, Markó Anna Erzsébet, Márton Anna, Matusek Márton, Molnár 410 István, Nagy 911 Viktória, Nagy Enikő, Páhoki Tamás, Pszota Máté, Szécsi Adél Lilla, Tatai Mihály, Török Réka , Varga 157 Kristóf.
4 pontot kapott:	Fülöp Ágota, Geretovszky Anna, Horváth András János, Horváth Botond, Kocsis Júlia, Marozsák Tóbiás , Sebe Anna, Sudár Ákos, Thuróczy Mylan, Weisz Máté, Zsombó István.
3 pontot kapott:	22 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	24 versenyző.
0 pontot kapott:	19 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2016. márciusi matematika feladatai