A C. 828. feladat (2005. november)

C. 828. Mekkora az x+y=2005, $\frac{x}{2005}+ \frac{y}{2006}=1$ , $\frac{x}{2006}+ \frac{y}{2005}=1$ egyenletű egyenesek által közrezárt háromszög területe?

(5 pont)

A beküldési határidő 2005. december 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Legyen a három egyenes rendre e₁, e₂, e₃. Az e₁ egyenesnek $\left(x+y=2005\right)$ az x, illetve y tengellyel vett metszéspontja P₁(2005;0), illetve R₁(0;2005). Az e₂ egyenesnek $\left({x\over2005}+{y\over2006}=1\right)$ P₂(2005;0), ill. R₂(0;2006). Végül az e₃ egyenesnek $\left({x\over2006}+{y\over2005}=1\right)$ P₃(2006;0), ill. R₃(0;2005).

$e_2\cap e_3=M\left({2005\cdot2006\over4011};{2005\cdot2006\over4011}\right)$ . A három egyenes által közrezárt háromszög az R₁P₂M egyenlő szárú háromszög. Ennek R₁P₂ oldalához tartozó magassága, m=MF_R₁P₂, ahol F_R₁P₂(1002,5;1002,5).

Így

$m=\sqrt{2\cdot\left({2005\cdot2006\over4011}-1002,5\right)^2},$

a háromszög területe pedig ${1\over2}m\cdot R_1P_2={1\over2}\sqrt{2\cdot\left({2005\cdot2006\over4011}-1002,5\right)^2}\cdot\sqrt2\cdot2005=$

$=2005\cdot\left({2005\cdot2006\over4011}-1002,5\right)\approx501,125$ területegység.

Statisztika:

302 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: 213 versenyző.

4 pontot kapott: 4 versenyző.

3 pontot kapott: 3 versenyző.

2 pontot kapott: 13 versenyző.

1 pontot kapott: 20 versenyző.

0 pontot kapott: 48 versenyző.

Nem versenyszerű: 1 dolgozat.

A KöMaL 2005. novemberi matematika feladatai

302 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	213 versenyző.
4 pontot kapott:	4 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	13 versenyző.
1 pontot kapott:	20 versenyző.
0 pontot kapott:	48 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?